小学数学教学中“数形结合”思想的渗透——以《求一个数的近似数》为例

小学数学教学中“数形结合”思想的渗透——以《求一个数的近似数》为例

刘虎政

云南省曲靖市陆良县中枢镇环城小学

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”（即通过抽象思维与形象思维的结合）可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。可“四舍五入”与“形”又有何关联？带着这样的思考，我尝试设计了下面的教学案例，并付诸实践，在此分享教学实录，以供商讨。

【设计理念】

新课程标准指出：要注重学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程中形成的能力，使学生在理解知识的发生过程中，主动建构自己的知识体系。用“四舍五入”法求近似数，在小学阶段的数学学习中占有重要的地位，从二年级的估数到四年级正式提出采用“四舍五入”法求近似数，乃至于在后期的学习中，该方法可谓无处不在。“四舍五入”法的采用最早可追溯至公元前二世纪的《淮南子》一书，我国古代的许多数学著作均提及该法的使用，如《景初历》、《皇极历》等，《九章算术》等书籍中也用类似方法求近似值；近现代的《新编小学生数学词典》和《小学教师实用词典》中同样明确指出“四舍五入”法的使用方法。但为何要“四舍”为何要“五入”呢？几乎所有的著作中均没作出明确的解释。老师习惯了方法的教授，学生习惯了方法的学习与掌握，然而这样的教与学，我认为失去的却是学习最本质的根基——思考。

【我的反思】

人教版小学数学教材中，用“四舍五入”法求一个数的近似数是在本节课的教学中才明确提出的，而前期对数的估算的学习是以“接近”等词汇进行描述，提前让学生使用“四舍五入”法进行估算，确实能降低教学难度、加快教学进度，同时也对本节课的教学带来直观的影响，但学生对于“四舍五入”的理解是否透彻，可通过下面这道题来深入探究：

例题：一个整数，省略万位后面的尾数约是20万，这个数最大是（          ），最小是（          ）。

从学生的作业反馈情况来说，该题的错误率是相当高的，少部分做对的学生对此题的解释也含糊不清，而日常的教学中，我们所采取的教学方法无非是：①列举；②死记硬背，从而导致“求近似数”成为了教学中的“边缘地带”或“无奈的痛”。然而学生所失去的仅仅只是一道题的分值吗？我想：教学，不但要传授方法，更要传授数学思想。

【教学内容】

人教版四年级数学上册第一单元，用“四舍五入”法求一个数的近似数

【学情分析】

经过三年的学习，学生已具备一定的知识和生活经验，对数的估算有了初步的体验且掌握了一定的方法，甚至部分学生还能正确使用“四舍五入”法求取近似数。同时，在本单元的教学内容编排中，将整万、整亿数的改写安排在本节课之前，从而为学生的学习做好了充分的铺垫。

【教学目标】

知识与技能：掌握非整万数用“四舍五入”法求取近似值。

过程与方法：利用数轴探究“四舍五入”法的来源依据，尝试在数轴上圈出近似值的取值范围。

情感态度与价值观：使学生经历“求一个数的近似数”的过程，渗透数形结合思想，培养学生主动思考的数学习惯及模型意识。

重点：用“四舍五入”法求一个数的近似数

难点：在数轴上圈出一个数的近似数的取值范围

【教学设计】

一、复习引入

请快速估出下面各数

41≈      53≈      67≈      89≈      101≈      199≈

40        50        70        90        100        200

你是怎样估的？请说出你的方法

生1：例如41离40最近、53离50最近，这样估出来的。

追问：怎样表示它们之间离得最近？（学生没有办法回答）

生2：用“四舍五入”法估出来的。

追问：什么是“四舍五入”？

生：就是4和比4小的要“舍去”，5和比5大的要“入”。

追问：“舍去”是不是这一位就不要了？“入”是往哪里入？

生：“舍去”不是不要，是把它变成0；“入”是向前一位入1。

再次追问：为什么要“四舍”？为什么要“五入”？“五舍四入”行不行？

生：......（此时学生已完全不知道该如何解释）

【设计意图：让学生利用已有经验解决问题，同时产生新的疑问，激发学习的积极性。】

（教学后记：到这里，学生已有的经验无法解答这些问题，也突显出他们对“四舍五入”只知其“表”，不明其“质”，进一步验证了探究“四舍五入”其本质意义是非常有必要的，同时也给学生留下诸多疑问，引发思考。）

看来，同学们只知道要“四舍五入”，却不知道为何要“四舍”，为何要“五入”。如同“为什么要吃饭？是因为肚子饿。”一般的道理，任何方法的形成都具有一定的“原因”，这就是今天我们要探讨的问题——为什么要“四舍五入”？

二、共同探讨

刚才有同学回答：这样估是因为它们之间离得近。数与数之间，如何来判断它们之间的“远近”关系呢？可以借助什么样的工具来直观呈现呢？

生：......

【设计意图：利用学生的解释来引发再次思考，让学生自主探究解决问题的策略与方法，既要“天马行空”，又要“有理有据”，逐步培养学生数学思维的逻辑性。】

我们先做个游戏，或许在游戏中，你能有所发现：

生甲                   老师（居中）                生乙

请观察我们三人的位置，此时老师离谁近？

（一样）

如果这样呢？（老师向生甲倾斜或走动）

生：离甲近

如果这样呢？（老师回到原位后向生乙倾斜或走动）

生：离乙近

（重复几次后提问）在刚才的游戏过程中，你发现了什么？

生：老师原来是在他们俩中间的，距离相等，当老师向某位同学的那个方向走动时，就离那位同学近。

追问：老师是走一步还是多步才可以说离他近？

生：无论走几步，只要向他的那方走动，都可以说离他近。

【设计意图：利用游戏的形式，让学习变得轻松，同时建立初步的数形结合模型。】

（教学后记：在游戏的过程中，学生初步建立了数轴模型，但仅仅停留于具体、表象的认识，此时应抓住时机，引导学生的思维顺向迁移，逐步建立模型。）

如果我们三人分别表示三个自然数，可能是多少？

生：......

（纠正学生说出的错误数据，要保证是“等距”的数）

（选一个为例子继续讨论）

生甲                   老师（居中）                生乙

200                     250                      300

如何让250接近200？

生：向左移动

移动多少？

生：多少都可以，比如1、5、10、20、30......

移动后的位置所表示的数是多少？

生：......

这些数都可以说它接近谁？

生：200

到底有多少个这样的整数呢？

生：......

（教学后记：答案很多，学生讨论得比较激烈，说明此时学生大脑中已建立了简单的数学模型。）

这么多数，一一表示比较麻烦，能不能用更加直观、简洁的方式进行概括？

生：举例

它们都接近200，也就是属于同类，结合以前学习的方法，同类的量可以怎么办？

生：用圆圈圈起来

请动手圈出来。

（学生在第一次尝试时，往往会把250也圈在其中）

追问：250能不能圈？为什么？

生：......

（适时评价，统一标准，得出结论）

200                    250                       300

即：从201～249都可以说它们接近200这个整百数。这些数还能怎么归类呢？

生：......

（引导细分）还可以将它们等分为5份，再观察每一份上的数的特点：

观察后发现：都是接近200的数，且十位上分别为0、1、2、3、4。

引导总结：

当我们把以上这些数估成整百数时，我们都对十位及后面的数进行了“四舍”，而“四舍”的原因正是因为这些数离某个整百数比较近。

【设计意图：由感知到深入、由表象到本质，让学生深入理解为何要“四舍”。】

（教学后记：由形象、具体、共同参与游戏的形式，由浅入深，由形象到抽象的过渡，让学生经历在“等距离”条件下如何寻找近似数的范围。经历动手操作，以数轴为引导，专项突破，建立相关的数字模型，从本质上探究“四舍”的成因，加深理解和运用能力，初步形成“数集”的概念，正确认识数学知识的严谨性，提升数学思维能力。）

（建立完整的数学模型）

还有其他的数也接近200吗？

生：......

刚才我们找的都是比200......

生：都是比200大的

那有没有比200小，但也接近200的呢？

生：有，比如198......

尝试用数轴的方式表示出来：

150                    200                      250

是的，同门们已经能快速、正确地圈出这些数，请再对这些数细分，并说说你的发现。

发现：这些数同样接近200，且十位上分别为5、6、7、8、9。

追问：那150呢？它算不算接近200的数？

生：......

（教学后记：对于这样的提问，学生产生了激烈的争论，主要集中于两点：①150处于100和200“居中”的位置，所以离谁都不近；②因为十位上分别是5、6、7、8、9的数都属于接近200的范围内的数，所以150也应该划分到这个范围之内。）

引导归纳：

同学们通过刚才的细分，不难发现，十位上是5、6、7、8、9的数，都可以说接近200，所以150也归纳于这个范围之内，也正因为这样，我们把这些数估成整百数时，是进行了“五入”。

（教学后记：学生经历了“四舍”的学习，已初步具有数集的观念，所以能快速圈出不算完整的“五入”的数集，此时老师需要聚焦解决的是学生争议中的“中立者”。）

通过刚才的学习，我们知道了“四舍”和“五入”的原因及这些数的取值范围，将两者结合可得到：

（加深难度，引导学生表示取值范围）

借助数轴，我们能清楚地看出它的取值范围，在这个范围之内究竟有多少个整数呢？

生：......

【设计意图：将完整的知识片段化，再进行整合，逐步形成完整的知识结构体系，渗透数形结合思想，培养建模能力。】

数值较小的情况下，能数出来，那如果变成这样呢？

这样呢？

这样呢？

你发现了什么？（留给学生足够的思考时间）

生：我发现，当数值越来越大，取值范围内的数也就越来越多，很难数出有多少个数。

那如何简洁的表示出这么多的数呢？让学生动手尝试。

（引导规范表达）

150～249接近200 即：从150～249，这些数都接近200，也可

以说它们都能约等于200。

150～249 ≈ 200（让学生模仿表达）

【设计意图：从简单的数据开始，让学生获得成功的体验；由独立的取值范围到完整的取值范围，引导学生建立清晰、完整的数学模型，初步感受、运用数集；循序渐进，不断深入，慢慢将数集范围扩大，引发学生思考，让数学变得“触手可及”。】

三、总结全课

通过今天这节课的学习，我们共同探究了为什么要“四舍五入”以及“四舍五入”的范围，在学习的过程中，我们不仅要掌握一定的方法，更要思考这些方法是如何总结出来的，这就是今天老师想教给你们的数学习惯——“善思”。

（教学后记：教学，教的不仅仅只是方法，更重要的是引导学生学会思考，养成良好的思维习惯。小学阶段“以形助数”是主线，“数形结合”的运用也比较广泛，教学中只有常教常学常思考，才不至丢了本质，只有合理地运用“数形结合”才能给教学“增色”，才能更好地发挥其作用。）