浅谈用诱思探究法解决与圆有关最值问题

浅谈用诱思探究法解决与圆有关最值问题

方伟欣

云南长水外国语中学 云南昆明  650500

摘要：圆选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，在初中曾经学习过圆的有关知识，本文是在初中所学知识及前一章空间向量与立体几何内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，用诱思探究法探究与圆有关问题最值问题的常规解题思路及其应用。在这一过程中，让学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。同时，用诱思探究法研究与圆有关最值问题的具体解题思路，为后面学习圆锥曲线奠定了基础。以往的教学过程中，总是提倡“在教师的诱导下”，那么应该怎样实现诱导，在以往的研究中，对数学知识的学习不是满堂灌，就是满堂教，以至于在解决与圆有关最值问题的时学生，没有形成具体的题型归纳总结能力，总是学完就忘，只能死记硬背。本文旨在研究用诱思探究法解决与圆有关最值问题，主要按照三个认知层次，设计每个认知层次下各个学习活动的导向信息，诱导学生五官并用，全身心投入学习过程，亲身体验，主动探究，合作交流，勇于展示，自己学会知识，真正实现“满堂学”，希望能够真正培养高中生的五大数学核心素养及助力他们在新高考新教材体系中提高孰能生巧，灵活变通的创新型解题能力。

关键词：圆；诱思探究法；解题思路；最值问题；数学.

爱尔兰著名诗人曾说过，“教育不是注满一桶水，而是点燃一把火”。诱思探究法就是告诉我们怎样把这把火烧的恰到好处，真正实现为了学生一切的全面和谐发展。诱思探究法研究的是教师如何抓住每一个适当的契机，珍惜学生的好奇心，鼓励学生大胆展开形象思维，改善学生的思维空间，从而实现学士能力的飞跃和突破。接下来以与圆有关的最值问题为例，用诱思探究法研究解题思路及应用。

在高中数学学习过程中，解析几何是每年高考必考内容，也是很多高中生畏惧的题目，解析几何中涉及直线，圆，及圆锥曲线，他们都是几何图形，层层递进又相互联系，圆作为一种简单的几何图形，若用诱思探究法授之以渔那么学生未必会产生畏惧与抵抗心理。反思教师在教授学生学习的过程中，没有注重以诱达思，通常高中阶段研究与圆有关最值问题时，有圆的方程，直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等[1]。较少有研究用什么方法研究与圆有关最值问题，在解决与圆有关最值问题时，所使用的解决方法均大同小异。而高中学生在进行学习的时候，只学会了圆有关最值问题解法，严重忽视了能力的发展和品德的培养，一旦题目稍微变式，便不知如何思考对这一类型的题目，从而进行正确的解答。因此，下面浅谈用诱思探究法解决高中数学中与圆有关的最值问题，首先要由浅入深，有特殊到一般，整个教学过程中要采用双向谈话式，设计如下：首先设置问题让学生主动回忆旧知，两点连线的斜率公式做好准备，其次，通过剖析实例，掌握规律，最后是举一反三迁移拓展，运用规律,以教师的循循善诱实现学生的独立思考。

一．与圆有关的最值问题

（一） 类比斜率型

形如u＝ 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题.

【例1】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．

分析：由题意可知能用两种方法判断方程表示的几何图形是圆，标准方程为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，

此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.

【变1】若实数， 满足，则的取值范围为？

此题型在上一题基础上转化了思路，由题意可得, 表示右半个圆x2+y2=1上的点(x,y)与原点(0,−2)连线的斜率，设k=，故此圆的切线方程为y=kx−2，再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得r==1，平方得k2=3求得k=±,故的取值范围是，

（二）转化截距型

形如ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题.

【例2】已知实数x，y满足．求：的取值范围．

分析：此题考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的应用,运用数形结合的数学思想,将所要求的范围由其表示的几何意义转化为点与圆心的距离的最值和直线与圆相切的位置关系的问题，是一道中档题.在解决这类问题时通常令．即得直线：，将问题转化为圆心到直线的距离小于或等于半径，建立不等式解之得范围.

解：令．即得直线：，点在圆上，圆心到直线的距离，即，解得，则

故得解.

【变式2】已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上,求x＋y的最大值和最小值．

分析：本题考查x＋y最值的计算，利用该代数式的几何意义求解是解答的关键，同时也考查了弦心距最值的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

这个问题把上面的减法换成加法，本质不变，设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，

∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，

即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1

（三）类比两点间距离（平方）型

形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

【例3】已知实数、满足方程，则最小值为？

可以将圆的方程化为标准形式，可得出圆心的坐标和圆的半径，将视为坐标原点到圆上一点距离的平方，即可得出结果.

解：圆的标准方程为，圆心为，半径长为，，所以，原点在圆外.的几何意义为坐标原点到圆上一点距离的平方，.

【变式3】已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为？

注意加了根号表示点与点的距离，由圆的性质可求．

详解：圆的圆心为，半径为1，圆心到点距离为，

∴所求最大值为．学生容易忘记开根。本题考查动点的轨迹方程，属于中档题.

（四） 利用函数关系求最值

解决这类题先根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．

【例4】设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为？

由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.

【变4】设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为？

由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10.

（五） 与圆有关的面积最值问题

【例题5】已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为？

如图所示，由几何图形易知点M的坐标为M时，△OAM有最小值，其面积为S△OAM＝×2×1＝1.故选A.

【变5】设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．

【解析】圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.

（六） 辅助圆法求最值

对于符合圆的特征的条件，可以构造辅助圆帮助思考．如利用圆的定义、圆周上90度的角所对弦是直径、四点共圆的特征来构造圆，做到图中无圆，心中有圆[2]．

【例题6】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7　　　　　B．6        C．5  D．4

【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，

因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.故选B.

【答案】　B

【变式6】1．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点．当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是________．

【解析】由已知得a2＝9，b2＝4，c2＝5，F1(－，0)，F2(，0)．以F1F2为直径构造圆x2＋y2＝5.

因为∠F1PF2为钝角，所以点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝5内，故x＋y<5，联立＋＝1消去y，

解得－<x0<.即点P横坐标的取值范围是.

【答案】

【变 7】若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为______．

【分析】根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出到坐标原点距离的最大值即可.

【详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,

直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,

其交点在以为直径的圆上,作图如下:

结合图形可知,线段的最大值为

,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,

所以到坐标原点距离，即线段的最大值为.

故答案为:

（八）弦长最值问题

【例7】直线被圆所截得的最短弦长等于（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】圆的圆心为，半径，

又直线，直线恒过定点，

当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，

此时弦心距为．

所截得的最短弦长：．故选：C．

【变7】已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】直线l：，即，

所以直线过定点，，圆半径，

点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短，

此时．故选：C．

【变8】已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ）

A．4        B．6        C．        D．

【答案】B

【解析】根据题意，设为直线上的一点，则，

过点作圆的切线，切点分别为、，则有，，

则点、在以为直径的圆上，

以为直径的圆的圆心为C，，半径，

则其方程为，

变形可得，

联立，

可得圆C和圆O公共弦AB为：，

又由，则有，

变形可得，

则有，解可得，故直线恒过定点，

点在圆上，

则点到直线距离的最大值为．故选：B．

4 教学反思

在解决与圆有关的最值问题教学中，让数学核心素养在课堂上落地生根[3],首先引导学生回顾确定直线的几何要素是两点（或者一点和斜率）的基础上，类比得到圆的几何要素为圆心位置和半径大小，再由坐标法和直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程。用诱思探究法研究圆的标准方程进而解决与圆有关的最值问题，具体有类比斜率型、转化截距型、类比两点间距离（平方）型、利用函数关系求最值、面积最值问题、弦长最值、构造辅助圆等，这一过程提升逻辑推理、数学抽样等数学素养。在用诱思探究法求解与圆有关的最值问题中，注意几何法与代数法的比较，提升学生数学运算素养。同时数学课堂教学中要融入数学文化和数学发展史，开阔学生眼界，丰富课堂内涵。在高中数学学习过程中，解决与圆有关问题这一数学知识点是学生考试中比较常见的一类题型。特别需要注意“满堂学”，每堂课为学生预留 5~10 分钟左右进行交流和整理，让学生汇总学习过程中他们个体所遇到的问题，帮助学生快速构架数学框架，这才能真正对于提高学生的数学能力、合作学习能力、探究能力有着积极的作用。于此同时高中学生需要在正式学习解决与圆有关最值问题之前，将有关圆的方程的熟练理解复习掌握好，在课后进行反复的训练，找到自身所缺乏的部分。如此一来，才能实现在用诱思探究法解决与圆有关最值问题，助力学生实现人生理想。

参考文献

［1］ 曹锋．高中数学最值问题题型与解法未探［J］.数学大世界( 下旬) ， 2020( 12) : 13．

［2］ 周怡阳. 探究一个圆内接四边形面积的最值［J］．数学通讯，2010，Z3：86－87

[1]刘彦永．高中数学好题赏析［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２０１７（１１）：１４７－１４０