分数阶微积分的历史与发展

分数阶微积分的历史与发展

刘陶明

（河北工程大学 056038）

摘要：分数阶微积分作为一种新的数学分支，近年来备受关注。分数阶微积分与整数阶微积分相比，其具有更广泛的应用领域，如控制论、力学、经济学、生物医学等。本文主要介绍了分数阶微积分的历史、发展及其应用领域，并分析了其未来发展趋势。本文的目的是为读者提供对分数阶微积分的基本认识和启发。

关键词：分数阶微积分，历史，发展，应用领域，未来趋势

一、分数阶微积分的历史

分数阶微积分的出现，是为了解决传统整数阶微积分难以处理的问题而产生的。实际上，很多现象和系统的行为不能用整数阶微积分来刻画，反而可以用非整数阶微积分来描述。比如，分数阶微积分可以处理无界增长的数据，比如空气质量指数、绿色产业数据，分数阶微积分还可以处理非线性行为的系统，比如人口增长理论、化学反应系统。分数阶微积分更能够处理系统之间的耦合关系，例如，它可用于描述经济中提高关税的决策对不同国家经济的影响。

分数阶微积分的历史可以追溯到1695年，Leibniz和L'Hôpital在处理常微分方程时首次提出了非整数阶导数的概念。19世纪中叶，Grünwald和Letnikov独立地研究了分数阶导数，并提出了一种数值计算方法，即Grünwald-Letnikov导数。20世纪初，Riesz研究了分数阶微积分的理论，并提出了一种新的导数定义，即Riesz导数。1959年，Samoilov首次应用分数阶微积分理论解决了具有记忆效应的动态问题。

分数阶微积分的引入是为了使电力系统更加稳定。在 19 世纪时，对于实际技术问题，整数阶微积分已成为解决这一问题的主要工具。然而，在 20 世纪 60 年代末到 70 年代初期，一些科学家发现，现实生活中很多现象不能用整数阶微积分来解释，于是，引入了分数阶微积分。

分数阶历史的成因：1、时代趋势：在数字化时代，人们对时间的刻划更加准确、更加精细，因此，在历史研究领域，分数阶历史逐渐得到了应用。2、学科交叉：随着历史研究方法的发展，历史与数学、生物学等学科逐渐有了联合研究，因此，分数阶历史也受到了其他学科的启发和影响。3、深化认识：历史事件不是孤立的，它们之间是有联系、是相互关联的。因此，为了更好地解读历史事件，人们需要对其进行详细化、更精细的研究，因此分数阶历史应运而生。

分数阶历史的研究方法：1、时间点的选择：分数阶历史并不是将整数阶历史强行切割成分数阶的模式，而是在整数阶历史的基础上，根据时间发展的主要节点，将历史时间轴进行合理的分隔。2、数据整理与分析：通过海量数据的搜集、收集，进行分类整理、归纳总结，确定影响历史事件发展的主要因素、主要阶段等等。3、数学模型的建立：分数阶历史研究的基础就在于严密的数学模型，建立分数阶时间函数，为分数阶历史的制订过程提供了保障。

二、分数阶微积分的发展

分数阶微积分的发展经历了数学理论研究和应用探索两个阶段。

1. 数学理论研究

20世纪50年代后期，Riesz提出了一种新的导数定义，即Riesz导数，它是一种广义的导数，可以描述非整数阶导数。此后，分数阶微积分的理论逐渐完善，包括分数阶微分方程的定义、性质、解法等方面的研究。1984年，Podlubny提出了分数阶微积分的另一种定义，即Caputo导数，该定义在实际应用中更为方便。1993年，Samko、Kilbas和Marichev出版了一本名为《分数阶微积分和分数阶微分方程》的著作，系统地介绍了分数阶微积分的理论和应用。此后，分数阶微积分的理论研究逐渐成熟，并且在应用领域中得到广泛应用。

2. 应用探索

分数阶微积分的应用领域非常广泛，包括物理学、力学、化学、工程、经济学、生物医学、信号处理等多个领域。

在物理学中，分数阶微积分被用于描述复杂系统的行为，如分形、自相似、扩散等现象。在力学中，分数阶微积分被用于描述复杂介质的力学性质，如非线性弹性、粘弹性等。在化学中，分数阶微积分被用于描述分子扩散、化学反应动力学等问题。在工程领域中，分数阶微积分被用于建立非线性动力学系统的模型，如控制系统、机器人系统、电路系统等。在经济学中，分数阶微积分被用于建立非线性经济模型，如经济增长模型、投资模型等。在生物医学中，分数阶微积分被用于描述生物医学信号，如脑电信号、心电信号、肌电信号等。在信号处理领域中，分数阶微积分被用于信号去噪、信号恢复、信号分析等方面。

分数阶微积分，简言之，就是对于导数或者积分的阶数进行一定程度的发掘。一般来说，我们在简单二阶或一阶微积分方程中很常见，然而阶数大于1的问题就需要用到分数阶微积分。在应用中，分数阶微积分的优点也变得越来越明显。一般而言，非整数阶微积分的公式会更加接近一些实际的物理过程，并且可以在复杂的微积分问题中更好地适应性能更强。

在现代科技领域中，分数阶微积分方法凭借其独特的优势，已经成为应用进行遥感图像处理与分析，时间序列分析，反演问题的热门工具。在物理学领域中，如电子学、声学、地球物理学、其中又以约束注入薄膜和弹性力学的研究中应用最为广泛。而在生物学中，由于许多生物现象的非平稳、不连续、非线性等特点，分数阶微积分方法也得到了更广泛的应用，如生物医学工程中的脑电信号处理，血糖控制，肿瘤细胞生长等领域。

三、分数阶微积分的未来发展趋势

随着科学技术的发展，分数阶微积分在各个领域的应用也会不断扩大。未来，分数阶微积分的研究将会朝着以下几个方向发展：

1. 分数阶微积分理论的深入研究：目前，分数阶微积分的理论仍然存在很多问题，如分数阶微积分的基本定理、分数阶微积分的离散化等。未来，分数阶微积分的理论研究将会更加深入，以解决这些问题。

2. 分数阶微积分的应用拓展：未来，分数阶微积分的应用将会不断拓展，如在深度学习、量子计算等领域的应用。

3. 分数阶微积分的计算机实现：由于分数阶微积分的计算较为复杂，目前还没有很好的计算机实现方法。未来，随着计算机技术的不断发展，分数阶微积分的计算机实现将会变得更加容易。

4. 分数阶微积分与其他领域的交叉研究：未来，分数阶微积分将会与其他领域进行更多的交叉研究，如与机器学习、控制论、统计学等领域的交叉研究，以提高分数阶微积分的应用效果。

四、结论

分数阶微积分作为一种新的微积分工具，其理论和应用都还处于不断发展的阶段。虽然分数阶微积分存在一些问题，但随着研究的深入和技术的进步，这些问题将会逐渐得到解决。分数阶微积分的应用领域非常广泛，可以用于描述复杂系统的行为、建立非线性动力学系统的模型、建立非线性经济模型等。未来，随着科学技术的发展，分数阶微积分的研究将会不断深入，其应用领域也将会不断扩大。

参考文献

[1] Miller, K.S., Ross, B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York: John Wiley & Sons, 1993.

[2] Podlubny, I. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press, 1999.

[3] Samko, S.G., Kilbas, A.A., Marichev, O.I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. New York: Gordon and Breach, 1993.

[4] Oldham, K.B., Spanier, J. The Fractional Calculus. New York: Academic Press, 1974.

[5] Deng, W., Li, C., Wang, Y. Fractional-order models and control of the human respiratory system. Nonlinear Dynamics, 2010, 60(1-2): 189-