[1]                     贝叶斯公式的教学探讨

[1]                     贝叶斯公式的教学探讨

唐献秀

（广东石油化工学院 理学院，广东 茂名，525000 ）

摘要：贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，贝叶斯公式在医学、信息传递、生产、侦破

案件、个人信用、诉讼与网络安全、市场预测、金融、保险中求回报率，工程中求次品率，

模型预测、可靠性评估、产品检测、机器学习等方面都有着非常广泛的应用。公式涉及条件

概率公式、全概率公式与乘法公式等重要公式，也是概率统计教学中的一个难点。本文介绍

贝叶斯公式的定义以及应用实例，以便在教学中更好地帮助学生深入地理解以及应用公式。

关键词：贝叶斯公式；条件概率公式；全概率公式；乘法公式；概率统计教学。

1引言

“概率论与数理统计”是研究客观世界随机现象统计规律性的一门数学学科，它的理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中。从最简单的投掷硬币问题、博彩中奖问题、平分赌金问题、约会问题，到导弹的命中率、航天器碰撞概率、投资风险估计问题等等，现代社会的生产生活都离不开概率论与数理统计知识。正如法国数学家拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题”。因而在概率论与数理统计的教学过程中，如何利用课程本身的特点及特有的思维方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的课堂学习效率，增强学生的随机思想和实际应用能力，显得尤为重要。而贝叶斯公式是概率论与数理统计课程中非常重要的一个公式，是教学中的重点也是难点。贝叶斯公式是英国学者托马斯·贝叶斯于 17 世纪最早发现的，之后法国数学家拉普拉斯再次总结，逐渐被人们熟知，并认识到这个公式的重要性。如今，贝叶斯公式已经在医学、信息传递、生产、侦破案件、个人信用、诉讼与网络安全、市场预测、金融、保险中求回报率，工程中求次品率，模型预测、可靠性评估、产品检测、机器学习等方面都有着非常广泛的应用。贝叶斯公式重要而且抽象，学生在学习时很难理解，尤其是面对实际应用问题，弄不清楚哪些可以用贝叶斯公式，哪些用全概率公式。因此，在教学时，要把贝叶斯公式与全概率公式以及乘法公式讲透，让学生能够准确判别问题，灵活地运用概率模型解决实际问题。为使学生掌握公式并能很好的运用公式解决问题，本文根据自己多年的教学经验，选一些生活中关于贝叶斯公式应用的例子进行讲解。

2.贝叶斯公式的定义

先引入样本空间的划分的定义：

设为样本空间，为的一组事件，若满足

（1） 

（2） 

则称为样本空间的一个划分。

例如：就是的一个划分。

若是的一个划分，那么，对每次试验，事件中必有一个且仅有一个发生。

贝叶斯（Bayes）公式： 

设样本空间为，为中的事件，为的一个划分，且，,，则有

,  

称上式为贝叶斯（Bayes)公式，也称为逆概率公式。

3. 贝叶斯公式在生活中的应用

伊索寓言——狼来了，该故事讲的是有一个牧羊人，他很孤单，总想找个法子使自己开心。一天，他突然大叫：“狼来了，狼来了，快来救我呀”。附近的村民听见了，赶紧拿着棍子跑来，牧羊人大笑说：“狼跑了”。牧羊人常常以此为乐。有一天狼真的来了，他大声呼救，但没有一个人赶来帮忙，最后他的羊全被狼给吃了。用贝叶斯公式分析和求解寓言故事中小孩三次撒谎后的诚信度。

假设村民认为牧羊人的可信度为80%。可信的牧羊人说谎的概率只有10%，而不可信的牧羊人说谎的概率为50%。

设 A = “牧羊人说谎”，B = “牧羊人可信”，则

由全概率公式得

村民第一次被骗后，该牧羊人的可信度为，由贝叶斯公式，

村民第二次被骗后，该牧羊人的可信度为，则

由全概率公式，

由贝叶斯公式，

村民第三次被骗后，该牧羊人的可信度为，则

由全概率公式，

由贝叶斯公式，

在日常生活中我们常常有这种感觉，如果一个人骗了我们一次，我们对他的信任度就会大打折扣；如果他骗了我们两次，那么我们基本就不会信任他了。那么在狼来了的故事中，我们可以更明显的感觉到这一点。村民经过三次被骗后，对牧羊人的可信程度从开始的0.8下降到了0.03095368。在如此低的可信度下，村民听到第四次呼救时怎么会再上山打狼呢？这个故事告诉我们诚信的重要性，以后做人做事一定要讲诚信。

对新冠肺炎疫情期间居民出行记录的调查与统计，是相关部门防控工作的基本内容，市场调查与统计工作中涉及敏感问题的一个专业案例：“新冠肺炎疫情期间，你有过谎报出行记录的行为吗？”

问题一   你谎报出行记录了吗？  问题二    你没有谎报出行记录吗？

假设选择回答问题一的概率为0.7，收回的答案中回答“是”的概率为0.31，试计算出此次谎报出行记录的概率？

设B = “回答问题一”，A = “回答是”，谎报概率为P，则

,,,

由全概率公式，得

,解得P=0.025

由此可知：谎报出行记录的概率还是比较小的。

4．小结

在贝叶斯公式的教学中，为了让学生了解贝叶斯公式在现实生活中的许多应用，提醒学生要善于总结反思。通过分析生活中贴近的例子，极大地调动了学生的学习积极性。既能让学生理解枯燥难懂的定理，又能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的深刻性、创造性。同时教会学生做人做事的道理，树立正确的人生观，价值观，遵纪守法，做一个高素质的人才。

参考文献：

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[4]马金凤，汤烨．将数学史及实际案例融人概率统计课程的教法研究[ J]．数学教学研究，2010，29（4）：57-60．

[5]李国华．贝叶斯公式的应用［J］．牡丹江大学学报，2011，20( 7) ：95 -96．

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唐献秀(1984—)，女，广西都安人，硕士，讲师，主要从事概率论与数理统计的教学。