例谈放缩法在不等式证明中的常用技巧

例谈放缩法在不等式证明中的常用技巧

荣小丽

北京师范大学海口附属学校  571000 

放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证明结果确定目标来进行合理的放大和缩小的过程。适当的进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或者得出相反结论的现象。要想正确放缩出目标，就必须抓住题目的特点，本文主要介绍几种最为常用的放缩法策略。

第一、放大或者缩小因式

例题1、已知数列满足=1,=2+1(n)

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：+++<(n)

（1）解：利用构造法将已知条件等式两边同加1，得到+1=2（+1）

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列。则+1=,所以=-1

（2）证明：因为=<=()

设S=+++，则S<+(+++)=+(S-)

所以S<=<

例题2、求证：+++<

证明：因为<=-

所以+++<1++(+-)=+(-)<

总结：本题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，需根据具体题型分别对待，既不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处，固定一部分项，放缩另外的项，达到分离常说接近目标的目的。

例题3、设=

求证：<<

证明：因为

       所以

所以1+2+3++n<，

所以 <<

总结：通过对因式的放大和缩小，可以方便对原式进行求和等变形，最终得到证明。

第二、裂项放缩

如果要证明不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例题4、已知，求1

证明：因为,

所以1

总结：如何确定放缩的尺度，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。但是，只要抓住了欲证命题的特点，勤于观察和思考，许多问题都能迎刃而解。

第三、利用不等式放缩

例题5、设，求证：

证明：此数列的通项为,

因为k,

所以，

即

总结：上述不等式右边放缩的运用的是均值不等式 ，如果此时将放大到k+1，则得到的是，就放大过度了。根据所证的不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 ,其中，n=2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

第四、分项讨论

例题6、已知数列的前n项和

(1)写出数列的前3项

(2)求数列的通项公式；

(3)证明：对任意的整数m>4,有

解：省略1问过程，第二问求得；

（3）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：

当n3且n为奇数时，

+

于是，①当m>4且m为偶数时，

+

②当m>4且m为奇数时，

(添项放缩)

由①知

由①②得证。

第五、利用函数单调性放缩

例题7、（广西南宁二模）设函数f(x)

（1）若关于x的不等式f(x)在上有实数解，求实数m的取值范围；

（2）设g(x)f(x)，若关于x的方程g(x)至少有一个解，求p的最小值；

（3）证明：ln（n+1）<(n)

证明：设f(x)(x),

则当x0时，f(x)是增函数，所以

特别的，当，

令x

取n=1,2,3，，n，所得不等式左右两边分别相加得

所以ln（n+1）(n)

    证明不等式问题和数列不等式，因为它的思维跨度大，构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，放缩法灵活多变，技巧性要求高，常常令同学们找不到头绪，摸不到规律，总觉得“高深莫测”，其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”，本文力图揭开它神秘的面纱，读者可以能够感受到放缩法独特的魅力。