应用化归思想解决与圆有关的范围最值问题

应用化归思想解决与圆有关的范围最值问题

刘伟华

山东省博兴县第三中学   256500

师：上课，同学们好！上节课我们复习了直线与圆的方程，位置关系，初步体验了用解析法研究几何问题的过程，由于圆的完美的中心对称性，以及和三角函数密切联系，所以高考题中常考查与圆有关的范围最值问题，我们可以看出高考考查与圆有关的范围或最值问题较多，形式多样，在知识交汇处设置问题较多，难度较大，比如：2020年最值，（展示高考题）范围因此我们很有必要专门研究此类问题。

【真题挑战】

1. （2020·全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（  ）

A．B．C．D．

2. （2021·新高考1卷多选）已知点在圆上，点、，则（  ）

A．点到直线的距离小于    B．点到直线的距离大于

C．当最小时，    D．当最大时，

3.（江苏2017）已知点，点在圆，若，则点的横坐标的范围是_________

【学习目标】

1.通过与圆有关的最值范围问题的研究，探索如何借助圆的几何性质把目标问题化归成简单熟悉的问题，体会化归思想在解决圆的最值范围问题中的应用，发展学生逻辑推理、直观想象的学科素养；

2.能把已知的几何或代数条件等价变形，挖掘隐含圆，把代数问题化归为几何问题，或把几何问题化归为代数问题，体会化归思想在解决数学问题中的作用，提高学生解决问题的能力。

问题1. 已知圆

（1）过点的弦长范围是___________

（2）点在圆上运动，则最小值为________________

（3）点在圆上运动，点到直线距离的范围为___________

（4）由直线上点作圆的切线，切点，则的最小值___________ 

（5）点在圆上运动，点，则范围是_____

师：首先，我们借助【再现型题组】梳理解决此类问题的解题策略。

生：回答

师：（1）将过圆内一点的弦长，借助垂径定理：，转化为求圆心到过定点的直线的距离问题，借助代数运算，对几何关系进行变形，动态的寻找极端位置；

（2）将代数表达式转化为圆上点到定点的距离的平方的最小值，借助代数结构，寻找几何意义，转化为几何条件下求最值；

（4）借助勾股定理：，要求最小，等价转化为求最小，根据垂线段最短解决，借助代数运算，对几何关系进行变形，动态的寻找极端位置；

（5）代数表达式坐标化：设，，将几何关系坐标化，转化成代数条件构造函数求最值；

师：从这几个小题中，我们可以看出，解决与圆有关的最值范围问题关键是将问题中的条件进行转化，化复杂为简单，化不熟为熟悉。下面我们针对比较常见几何或代数问题如何转化展开研究。

【板书】

师：下面我们借助梳理的方法策略，重点探究同学们存在疑惑的问题，进一步体会如何把几何代数关系化归成熟悉的、简单的问题。

【巩固型题组】

问题2：已知圆

（1）点在圆上运动，点，则最大值_____

师：如何求最大值？

①几何意义是什么？

②三角换元

③方程组有解

④还可以怎么解决最大值？

从这个问题中，可以通过坐标运算将动点到两个定点的距离的平方和化归成代数式求范围；平面内到两个定点距离平方和，可以借助：平行四边形中四条边长的平方和等于对角线平方和，（极化恒等式平方和形式）将代数表达式转化为动点到定点距离问题【三角形中，邻边的平方和等于中线与底半平方和的2倍】；

（3）点圆上运动，满足，则的最大值_______

师：联想学过的公式，发现表示点到直线的距离，关键在于破解代数式表达的几何意义，将隐含条件转化成熟悉的问题。

师：进一步探究线段中点的轨迹：本质为圆上点到直线的距离最值问题。

（4）点在圆上运动，点在圆运动，点是直线上的动点，则的最小值为___________ 的最大值__________

①直线上动点到两个圆上的动点距离和或差问题，转化为直线上动点到两个圆心的距离和或差，再由两点之间线段最短或是三点共线转化求最值（本质为绝对值三角不等式）；

（5）点在圆上运动，则的范围是__________

（6）点在圆上运动，则的范围是__________

代数问题转化为几何斜率或截距问题，也可以代数法，设，，直线与圆有公共点。

【提高型题组】

问题3：直线相交于点，则点到直线的距离的最大值为__________

①两条直线有什么特点？

②动点的轨迹是什么？

③将代数问题转化为几何问题

师：通过研究两条直线的性质（倾斜程度或过定点）等角度，深挖隐含条件，再将其转化成熟悉的问题。

问题4：已知，则面积最大值为_________ 的最大值_______ 

①动点的轨迹是什么，如何推导的？

隐圆

问题6：求下列函数值域

（1）       （2）       （3）

分式形式可以“看成”连线斜率，比较复杂代数式，通过引入新元整理化简之后，将复杂问题简单化。

①代数式的几何意义是什么？函数角度：（同角同名，求导）令 ，即单位圆上点与点连线斜率的2倍；

②点满足的轨迹是什么？

③函数值域可以借助导数研究函数单调性，进而求值域；代数式具有明显几何意义时，可以将代数式转化为几何问题求最值；

【编题】你能否仿照上面函数，自己编一个类似问题，并说明是如何化归的？

【课堂小节】请同学们从以下4个方面对本节课进行小节：

1.收获了哪些知识和技能？

2.通过什么方式获得了这些知识和技能？

3.在获得这些知识和技能的过程中用到了哪些思想方法？

4.还有哪些疑惑？

解决数学问题时，往往需要抓住几何与代数条件，通过寻找联系或深挖隐含条件，从几何与代数两个角度将问题化归成熟悉的、简单的问题解决，体现了化归思想在解决数学问题中的重要作用。