素环上作为同态或反同态的导子

素环上作为同态或反同态的导子

姜雪娇，*杜奕秋

(吉林师范大学数学学院,吉林 长春 130000)

摘 要:利用同态和反同态的定义,证明了当导子在扭自由素环上满足同态或反同态时,有导子等于零的结论.将导子在非零右理想上满足同态或反同态的结果推广到非零理想的导子上.

关键词:素环;导子;理想;同态;反同态

0 引言

1989年,Bell和提出了,素环上的导子在非零右理想上成为同态或反同态,则导子为零的结论.1999年,将的结论推广到导子上得到了类似的结论.本文在前人研究结果的基础上,进一步研究了扭自由素环在理想上满足同态或反同态的问题,将的结论推广到理想上,得到类似结论.

1 预备知识

设是结合环,对任意的,若,则有或,则称为素环.若环是扭自由的,则对任意的,若,则必有.若对任意的,为上的可加映射,满足,则称为上导子.设为环,是上的自同构,上的可加映射为导子,若对任意的,都有.设为环,是上的自同构,上的可加映射为导子,若对任意的,都有.若映射满足;;

,,则称为上自同构.设是环,是的可加子群,若对任意的有,则称为的理想.设是环,是的可加子群,若对任意的有,则称为的理想.对任意,有;;.

2 主要结果

引理设是扭自由素环,是的非零理想,若存在,满足,则或.

引理设是扭自由素环,是的非零理想,是上的自同构,是上的导子.若,则.

证明  由,有

                      .                    (1)

则

由,有

                                         (2)

在(2)中右乘,则有

                                    (3)

把作用到(3)两端,有

即

由引理1，有

或

若则,与已知矛盾.

若

                      .                        (4)

把作用到(4)两端,可得

所以

证毕.

引理设是素环,是的非零右理想,为上的自同构,是上的导子.

若是上的同态,则.

若是上的反同态,则.

定理1 设是扭自由素环,是的非零理想,是上的自同构,是上的导子.

若在上成为同态,则.

若在上成为反同态,则.

证明 若在上成为同态,则

            .          (5)

在(1)中用替换,可得

. (6)

由(1)和(2),可得

               .                 (7)

用作用到(7)两端,可得

.

那么

.

由引理1,可得

              或.        (8)

用作用到(8)两端,可得

或.

若,则.

若,则

.

所以

                    .                       (9)

在(9)中用替换,可得

                   .                  (10)

用作用到(10)两端,可得

.

即

.

由引理1,可得

或.

因为为非零理想,可得

.

由引理2，可得.

结论得证.

若在上成为反同态,则

            .         (11)

在(11)中用替换,并结合(11),可得

               .              (12)

在(12)中用替换,可得

        .           (13)

用左乘(13),可得

           .          (14)

由(13)和(14),可得

                .                (15)

用作用(15)到两端,可得

.

即

.

由引理1,可得

或.

设

.

显然和是的可加子群,且.

但一个群不能是它的两个真子群的并,所以

或.

若,则,则.

若,则

                       .                   (16)

在(16)中,用替换,可得

             .            (17)

在(17)中用替换,可得

                 .                 (18)

用作用到(18)两端,可得

.

即

.

由引理1,可得

或.

设

显然和是的两个可加子群,且.

但一个群不能是它的两个真子群的并,所以

或.

若,则,由引理2,可得.

若,则,则.

结论得证.

参考文献

[1] H.E.Bell and L.C.Kappe,Rings in which derivations satisfy certain algebraic condition s,Acta Math.Hungar,1989,53:339-346.

[2] M.Ashraf,N.Rehman,M.A.Quadri.On derivations in certain classes of rings[J]. Rad.Mat,1999,9:187-192.

[3] Zaidi,S.M.A,Ashraf,M,Ali,S.On Jordan ideals and left

derivations in prime rings[J]. Int.J.Math.Math.Sci,2003:1957-1964.

[4] 王奕涵. 素环和素环上导子的性质[D]. 吉林师范大学,2016.

作者简介：姜雪娇，1998.3-，籍贯：吉林省吉林市；性别：女；职称：硕士研究生；主要研究方向：基础数学。

*通讯作者：杜奕秋，1974年生，籍贯：吉林省四平市；性别：女；职称：教授，博士；主要研究方向：基础数学。