探究递推数列通项公式的求法间的联系

探究递推数列通项公式的求法间的联系

邱清和 ,郑丹

四川省隆昌市第七中学 

【关键词】递推数列    通项公式

递推数列是表达数列的一种有效形式。根据数列的递推关系，求出数列的通项公式既能考查学生对数列的掌握程度，也能培养学生运用转化与化归的思想方法的意识, 极大地提高学生利用数学思想方法知识解决问题的能力.同时，由递推公式求数列通项的内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析、归纳问题的能力具有重要的意义.

一些数学工作者对递推数列通项公式的求法研究已经取得了很多具有参考价值的成果，如：舒飞跃的《常见十三种递推型数列通项公式的求法》；黄爱民的《十类递推数列的通项公式的求法》等。但是，缺少了递推数列的类型之间的联系，本文重点研究了递推数列类型间的联系及一般性方法。

建构主义学习理论认为:“学习过程不是学习者被动地接受知识,而是积极地建构知识的过程”.第斯多惠认为：“教育的艺术不在传授,而在于激励、鼓励和唤醒”.布鲁纳认为：“探索是教学的生命线.”而数学中充满了探索，因此探索是数学的生命线，没有探索,便没有数学的发展.根据这些观点及新课标理论,本节课重在引导学生自己发现规律,探索其本质，在探索中学到知识,提高学习能力，学会类比归纳、转化与化归的数学思想方法，使学生从中体会到学习数学的兴趣，将递推数列转化为等差（或等比）数列。对此，我将给出以下探索过程。

首先给出课前自测：

1.已知数列满足，求数列的通项公式.

2.已知数列满足 ，求数列的通项公式.

运用杜威“教学必须从学习者已有的经验开始”的教学理论,在学生已有知识的基础上,感受递推关系，并指出从第二项起，后一项与前一项的差值（或比值）为同一个常数。再在此基础上，若将后一项与前一项的差值（或比值）为同一个常数变为一个变量，此时又该如何呢？从而产生例1、例2。

例1.已知数列满足.求数列的通项公式.

例2.已知数列满足.求数列的通项公式.

先让学生自己探究，探究不出的可分小组讨论，引导学生学会从概念出发,通过让学生自己发现规律来寻找数列通项公式。

若将后一项与前一项的差值（或比值）为同一个常数变为后一项与前一项又存在差值关系，又存在比值关系，此时又该如何呢？从而得到例3。

例3.已知数列满足.求数列的通项公式.

此时，我们发现数列的任意前后两项都存在一个常数的差值关系与倍数关系，为解决这一问题，我们构造新数列为等比数列，其中为常数。

在例1、例2的加持下，我们可以类比得到：若将例3中的常数变为变量，此时又该如何求通项公式呢？从而得到例4。

例4 .（2020年,全国卷3,17）已知数列满足.求数列的通项公式.

不难发现，数列的递推关系与例3相比较，其本质并没有改变，只是将常数变为了关于的一次式，此时依旧采用构造法，构造新数列为等比数列。

考虑到学生已有的认知结构和心理特征，根据夸美纽斯的教学巩固性原则,为了培养学生独立解决问题的能力,将对例3进行再变式，将常数变为变量，在例4的基础上再一次加大难度，使学生能真正的理解到此类型的本质是将递推关系转化为等差或等比数列。如例5。

例5.已知数列满足.求数列的通项公式.

赞科夫说过“学生对所学知识内容的兴趣可能成为学习动机”.提高学生学习兴趣,力求在教学活动中营造学生自主探究，发现规律，培养学生的探索能力．让学生在相对轻松的环境中去学习知识，提高学生学习数学的兴趣．所以，在此基础上，再一次将变量变为。

例6.已知数列满足.求数列的通项公式.

让学生独立思考，该如何去构造数列，依据是什么，通过怎样的猜想得到？如：同时除以，可以得到，利用累加法可求解，此时回到例1；同时除以，可以得到，利用构造法可求解，此时回到例3。

本节课充分调动学生去积极思考、主动探索,从基本数列出发，不断的将定义中的常数关系转化成变量关系，感受知识间的联系，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，让同学通过观察、归纳、类比、转化来得到一定的结论，从而让同学们学会自己去发现知识的形成过程，从学知识到学方法的转变，不断提升个人能力。

邱清和，四川省隆昌市第七中学副校长，正高级教师，四川省名师工作室领衔人，四川省骨干教师，内江市优秀教师，内江市优秀管理先进个人，隆昌市优秀共产党员，科研课题两个课题获四川省二级奖，三个课题获内江市一等奖，20多篇论文发表在国家和省级刊物上。