最值问题的整体性教学设计一例

最值问题的整体性教学设计一例

林榴芝

浙江省台州市椒江二中    318000

[摘要]：提高课堂习题的利用率，让课本真正成为提高学生学习拓展能力的源泉使课堂教学焕发出勃勃的生机，符合教学改革的实际。本文从课本课题学习的原题教学出发根据不同角度、不同层次、不同背景而其本质特征不变的特点发掘拓展课题习题教学，激活数学思维，提高数学课堂教学效率。

[关键词]：课题学习   拓展   激活   数学思维

课堂教学是学校教育的主阵地，在新课程改革不断深入的今天，课堂教学如何组织实施直接关系到课堂教学的高效性，而提高课堂习题教学的有效性，使课堂焕发勃勃生机，让课本真正成为提高学生学习能力的源泉则是轻负高效的必由之路。以下以八年级上课题学习为例探究提高课堂习题教学效率的有效方法。

课本原型：（八年级上 13.4 课题学习）牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?

本题的基本原理：两点之间线段最短

基本模型：直线同侧有两个固定点，在直线上找一点使其到两固定点之间的距离之和最短

基本方法：化直线同侧两点为异侧两点

一、拓展背景，激活数学思维的常规通道

课堂习题教学中，从做题到归纳提炼数学思想方法，这是一个自然、合理的、科学的提升过程。习题教学的重点不在于讲解解答本题时的注意点，而在于用什么方法，为什么这么做，同一类题怎么做。初中生认知能力有限，看问题往往比较感性和片面，不能深入全面地把握问题实质，这就需要教师有所为，帮助学生深入浅出，由表及里把握问题的规律和本质。

1.如图（1），正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点若M是AB边上的中点，求PM+PB的最小值 。

2.如图（2）在平面直角坐标系中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=________。

图（2）                                      图（3）

3．如图（3）在反比例函数 上有两点A(3,2),B(6,1)在直线 上有动点P,那么当PA+PB最小时，求P点的坐标.

以上各题有着不同的问题背景，但知识点本质与课题中的牧马问题却是完全相同的，引导学生从变化的背景中找出其中的不变的数学模型能开阔学生的视野，拓宽学生的思维空间，脱离题海练习。将以上问题拓展归纳，可分为“几何背景”和“函数背景”两类基本图形，如下图：

通过问题背景的归纳，让学生感受把握问题本质万变不离其宗的方法意义。抓住问题的本质特征，把问题进行归类，就能帮助学生举一反三、触类旁通，激活学生的数学思维最终使学生的学习能够从点扩展到面。

二、拓展内涵，激活数学思维的模式

数学学习不是知识的单纯记忆、积累，而是信息加工、构造、改组的过程，课堂习题的学习应该让学生力图通过自我探究引导学生学会学习和掌握科学方法，为终身学习奠定基础。教师作为课堂教学的导师，其任务是促使他们自己去获取知识、发展能力，做到自己能发现问题、分析问题、解决问题；要尽量从学生的认知水准出发，展现思维的全过程，课堂习题设计应由简单到复杂，也可以由单一逐渐转向全面，拓展问题的内涵，循序渐进。从而使学生理解问题的本质，激活数学思维的模式，提高思维能力从而培养良好的思维品质。

1.原题展示：正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点如图（4）若M是AB边上的中点，求PM+PB的最小值                   

图（4）                                 图（5）

2．在第一题的基础上加以改变：点动线不动，点将B换成了点N如图（5）正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点若M、N分别是AB，BC边上的任意一点，求PM+PN的最小值   

3.变点动为点线一起动，改动了对称轴的位置，点M变成了动点，增加题目灵活性。如图（6）在正方形ABCD中，AB=2,Q是AB中点，连结QC，点P、M是QC、BC上任意点，求PM+PB的最小值。

4.再由两个点到多个点，增加层次性：

（1）如图（7）正方形ABCD中，AB=2若M是AB边上的中点， P是对角线AC上任意一点，求的最小值

（2）如图（8）若M1、M2是AB边上的三等分点， P1、P2依次是对角线AC上任意两点，求的最小值

图（6）                         图（7）                       图（8）

数学思维品质是数学思想的具体体现，是解决数学问题的一般策略。教学实践证明，在数学教学中，根据学生的实际由简单到复杂，由单一逐渐转向全面，拓展问题的内涵改变设计课堂习题，可使学生在数学学习中提高辨析能力，提高思维能力进而有利于养成良好的思维品质。

三、综合设置，提升数学思维的品质

焕发习题课堂教学的活力，教师要为学生的学习设置探究的情境，建立探究的氛围，促进探究的开展。通过对课本原题的改造，从设计问题的广度和深度各角度出发，引领学生在反思建模的基础上，变单一为综合为学生的思维提供一个个阶梯，不仅有利与学生构建完整合理的知识体系，通过变式创新又能夯实基础，在基础上有所发展。

1. 如图（9）已知抛物线若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达对称轴上

某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长。

图（9）                               图（10）

2.变一次对称为两次对称：

如图（10）若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线

的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长。

在以上课堂习题的变式练习中变单一练习为综合知识的运用，为学生的思维提供一个个

阶梯，有效培养学生的综合思维能力，并且充分理解数学本质属性，达到举一反三的效果。

四、结语

综上所述，将课本原题加以挖掘、延伸从而顺着教师的藤，收获学生自己的果，在焕发习题课堂教学活力的同时，通过对题型本质的分析，实现多题归一，循序渐进让学生学会从数学的本质看问题，更深刻地理解课堂教学内容。不仅有利于学生养成良好的思维品质，也应是改进学习方法提高课堂教学效率的根本。

参考文献

[1] 钱佩玲．数学思想方法与中学数学．北京师范大学出版社 2012

[2] 周成平．中国著名教师的精彩课堂．江苏人民出版社2013

[3] 徐永彪．变式训练在初中数学中的应用与思考[J]．新课程研究2013

[4] 朱先东．数学整体性教学设计．中国农业大学出版社2022.6

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