关注基本图形变式教学  发展学生核心素养

关注基本图形变式教学  发展学生核心素养

袁栩

厦门市音乐学校（361000）

摘要:“图形与几何”是初中数学教学的重要内容，也是发展学生数学核心素养的重要载体。七年级《相交线与平行线》是初中生由实验几何到论证几何的重要过度阶段，教师在课堂教学中要重视教学策略，培养学生的数学思维和发展学生核心素养。掌握基本图形可以使几何问题变得更加简洁,帮助学生把握解题的方向,预测问题结果。因此,在进行几何问题教学时,注重构建基本图形模型和进行几何图形变式教学,可以培养学生思维能力,提升学生的几何直观、建模意识、推理能力，对发展学生数学学科核心素养有重要作用。

关键词:基本图形;初中几何教学；核心素养

在七年级下人教版教材的第五章《相交线与平行线》这章，较以前对“几何图形的初步认识”知识难度有了一定的提高，而且是学生由实验几何向论证几何转换的重要过渡阶段，其基本内容、研究思路和论证方法是学生学习后续几何知识的基础和前提。因此，在“相交线与平行线”的知识讲授过程中，对教师的课堂教学提出了较高的要求，需要采取有效的教学策略。其中，几何问题的变式是教学中应该特别注意的问题，在教学中让学生掌握好“一法多题”“一题多法”、基本图形的变式，对提升学生的核心素养能力有重要作用。

一、基本图形

本章中有一类重要的基本图形，如下：

（1）“M”型图

如图1,AB// CD,P为线段AB、CD之间的一点﹐则∠B、∠C、∠BPC之间有如下关系:

∠BPC = ∠B +∠C.

 结论侧“M”型图中同向角度和与其反向角相等.             

                                                                     图1

思路分析   思路1：此图的特征是在两平行线之间有一个拐点P.因此，我们通过在拐点作辅助线：PF∥AB,再利用平行线的传递性得到PF∥CD.这样就可以利用平行线的性质解决角之间的关系。

           思路2：连接BC.利用△BPC内角和与同旁内角互补也可以得到结论（方法二不重点介绍，但是它也是解决平行线拐点问题的通法）

证明过程   过P作PF// AB(如图1).因为AB// CD，所以PF// CD,所以∠BPF=∠B，∠CPF = ∠C,所以∠BPC =∠BPF +∠CPF= ∠B +∠C.

        “M”型基本图形一般有开口向左和向右两种﹐与它们相关的问题很多,掌握好此基本图形解题方法和结论对进一步解决有关问题很有用.在此图形的基础上，我们还可以变式出以下几类基本图形（为了便于识记，给他们取了相应的名称）：

      1.“铅笔”型图               2.“鸟嘴”型图             3.“靴子”型图

以上三种图形的基本特征都是：平行线的AB和CD之间或两侧有拐点E.解决这三个基本图形的方法都是：过拐点作EF∥AB，然后利用平行线的传递性和平行线的性质推出相应的结论。

结论   “铅笔”型图 ：∠B+∠BED+∠D=360。

       “鸟嘴”型图：∠D=∠B+∠BED

       “靴子”型图: ∠B=∠D+∠BED

以上四个问题都是可以用相同的方法解决。因此，在教学中老师应该注意引导学生总结证明方法的通性，这样学生在遇到相似的问题时能够利用掌握的方法进行探究。这对发展学生的几何直观和推理能力有重要的作用。

二、基本图形方法应用

1.多拐点问题1

如图 , AB ∥ CD ，探索各个角的关系:

当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°

当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°

当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°

探究规律：若有n个拐点，你能找到规律吗？

当有n个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C = 180。(n+1)

2.多拐点问题2

如图,若AB∥CD，探索各个角的关系：

当左边有两个角，右边有一个角时：  ∠A+∠C= ∠E

当左边有两个角，右边有两个角时：  ∠A+∠F= ∠E +∠D

当左边有三个角，右边有两个角时:∠A+∠ F1 +∠C = ∠ E1 +∠ E2

探究规律：若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？

当左边有n个角，右边有m个角时：

∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em+ ∠D

总结：只要掌握好了拐点问题的证明方法：过拐点做平行线，这样就可以探究相类似的问题了。

三、基本图形结论应用

1.已知，点、分别为、上的点，点、、为、内部的点，连接、、、、、，于，，，平分，平分，则（小于平角）的度数为______．

分析：首先要观察图形特征，是否存在基本图形。通过观察，

可以从图中识别出“M”型图和“铅笔”型图。根据“铅笔”型图结论可得

，根据“M”型图结论可得：，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．

2.已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．

（1）如图1，试说明：∠AGD＝∠A＋∠D．

（2）如图2，当点G在线段EF延长线上时，直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系．

（3）如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数．

      图1              图2                    图3

分析：通过观察，可以从图1中识别出“M”型图，图2中识别出“鸟嘴”型图，根据基本图形的方法和结论就可以解决。图3相对复杂，学生应该结合题目条件识别基本图形：在图3中有2个“鸟嘴”型图。由结论可得，再根据角平分线的性质及等量代换就可以进行求解．

3.已知：点 A,C,B不在同一条直线上，AD∥BE．

(1)  如图①，当∠A=58°,∠B=118°,时，求∠C的度数；x+y=90,180-y=180-2x

(2)  如图②，AQ,BQ分别为∠DAC,∠EBC的角平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB  的数量关系；

分析：本题目中AB∥BE,但是他们是射线，这是区别去前面题目的地方.因此老师可以先引导学生把射线AD、BE延长为直线，再来观察基本图形就比较容易了。

解题反思：通过观察可以发现，有些复杂的几何题其实就是由几个基本图形叠加而成,通过以上的变式练习,培养学生直观观察基本图形,再利用基本图形的结论和题目条件进行分析,问题往往能迎刃而解.通过基本图形建模有助于从复杂的图形中很快地分离出基本图形或者能很快地找到基本图形的辅助线，可以让学生更快的找到解题方向。而基本图形的变式练习可以使学生实现知识的灵活运用、融会贯通,从而实现几何直观、模型意识、推理能力素养的提升。

四、总结

在几何问题的教学中,我们经常遇到很多学生即使已经熟练地记忆概念、公理、定理,但在应用时却不知如何下手。很多学生明明做了很多题目,但一见难题又一筹莫展。因此,教师应该更多地思考如何进行几何教学,才能使学生掌握好相应的知识和方法。借助几何基本图形变式教学,可以帮助学生理解几何图形的概念及性质定理等内容,并通过基本图形应用加深巩固对问题理解。几何基本图形变式教学可以从更直观地角度对概念进行诠释,有利于帮助学生建立清晰的分析思路，帮助学生明确基本图形的应用条件和应用范围。通过基本图形的建模和应用,可以发展学生的几何直观、模型观念、推理能力、应用意识。让学生学会把陌生的、复杂的问题化归为熟悉的、简单的问题,实现学生数学学科核心素养的发展.因此,基本图形变式教学对发展学生的核心素养是行之有效的教学方式,在数学教学中应该予以重视。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社, 2012.

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[3]沈占立 曾海燕.与平行线有关的四种基本图形与结论例说.中学数学杂志[J].2017,10:42~44.

[4]徐晓梅.基于案例分析的初中数学几何基本图形教学探索.案例剖析[J].2019,12:99.

[5]张丽.基于图形分析的初中几何变式教学的应用探究.南京师范大学硕士论文[D].2015.