数列求和的教学探究

数列求和的教学探究

郭玉香

济南幼儿师范高等专科学校 

关键词：  等差数列  等比数列  前n项和

摘要 ：  数学是中学教学的基础和重要学科，因其有较强的科学性和逻辑性,老师在一堂课中要提高课堂教学质量，在有限的时间内让学生掌握更多的知识，就要在课堂上充分调动学生的学习积极性，把知识归类总结，使其具有科学性、启发性、规律性、逻辑性和趣味性,更好地完成教学任务。《数列》是中学数学中很重要的一章，是重点考查的章节之一，数列求和在本章中占有很重要的位置，是考试的必考内容，而数列求和又因其方法灵活、题目多变、趣味性强与生活和生产联系密切，所以在生活中有很大的实用性，现将数列求和较常见的方法归类如下：公式法、错位相减法、拆项求和法、并项求和法、裂项求和法、转化求和法等。

一、公式法：

1、利用等差数列前n项和公式求和:

例:求等差数列2, 7, 12，…，162的各项和。

解：公差d=7-2=5,  162=2+(n-1)5  n=33  

2、利用等比数列前n项和公式求和:

例：求等比数列，q=2,  n=6的前n项和。

解：由等比数列前n项和公式

因此，当数列是等差数列和等比数列时，求前n项和可直接利用等差和等比数列的前n项和公式，这是数列求和最基本、最简单的方法。

二、错位相减法求和：

例：已知：，求

解：由通项公式得：

， 左右两边同乘以½

，

两式错位相减得：

          所以：

当数列项的次数及系数有规律的排列时，分别求出和与公比的乘积，两式作差用错位相减法，最后得出首末两项的差，从而求出前n项和。

三、拆项求和法：

例：求数列的和。

解：原式=

        =55+

=56-

当数列每一项可拆成两项之和，而拆成的和分别可用等差数列或等比数列求前n项和时，可考虑用拆项求和法，这是一种快捷有效的求和方法。

四、并项求和法：

例：已知数列的前n项和，

求：的值。

解：观察这类数列的特点，数列中相邻两项的和是常数- 4,

  所以：可以两项并做一项，求出两项的和

，

    ，  

    ，

    因此：

当数列相邻两项的和是一个常数，两项并为一项，如果有偶数项常数乘以项数的一半就是前n项和；如果有奇数项常数乘以项数的一半加最后一项就是前n项和，这种方法就是并项求和法。

五、裂项求和法：

例：已知数列的通项公式，求.

解：因为:,     把每一项分裂成两项的差，

所以：

这种题目学生在做题时经常会遇到，解题方法是把数列的通项公式变形，每一项分裂成两项之差，在求前n项和时，中间项抵消，最后只求首末两项的差即可。这种方法既实用又有效，可以把复杂问题简单化。

六、转化求和法：

例：已知数列的通项公式，若，求n.

解：把通项公式的分母有理化得：通项公式变为

    这样把数列的每一项变为两项的差

    所以：

因为:

所以：，     .

    把数列的通项公式通过分母有理化变形，或把数列相邻两项通过平方差公式变形等有效方法，转化为简单易求和的这些方法，都是转化求和法。

在求数列的前n项和时，方法灵活多变，关键是根据给出的已知条件确定求和方法，而利用等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式求和是基础和根本，再依据不同的条件选择不同的求和方法，不管用那种变形方法最后都离不开公式。通过这些方法可以很方便地解决购房贷款、人口与国民经济增长等诸多实际问题，从而造福人类。

2022年6月