数形结合思想在函数与方程中的应用

数形结合思想在函数与方程 中的应用

谢翠红

河南省长垣市第一中学 453400

数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题

（一）数形结合在函数中的应用

例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈ 时，f(x)＝log₂(x＋1)，则f(x)在区间 内是( )

A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0 C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0

解析 由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈ 时，f(x)＝log₂(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.

答案 B

例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.

解析 y＝＝＝

函数y＝kx过定点(0，0).

由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k_OC，

∴0＜k＜1或1＜k＜2.

答案 (0，1)∪(1，2)

例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2^|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )

A.9 B.10 C.11 D.18

解析： 在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.

答案 B

[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.

2. 数形结合在方程中的应用

例4.已知点 在函 的图象上，且 ．求方程 解的个数。

思路分析 方程 解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3

解析：

，

画出 及 的图像，方程 解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。

例5 已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

思路分析：方程fx＝b有三个不同的根→函数y＝fx的图象和直线y＝b有三个交点→画函数图象

答案 (3，＋∞)

解 析：作出f(x)的图象如图所示，

当x>m时，x²－2mx＋4m＝(x－m)²＋4m－m².

要使方程f(x)＝b有三个不同的根，

则有4m－m²<m，即m²－3m>0.又m>0，解得m>3.

[点评] 正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势．

规律方法总结：(1)应用数形结合的思想方法解决函数与方程问题的关键是正确画出相关函数在给定区间上的图象，使之符合要求，然后根据图象列出不等式(组)进行求解.

(2)应用数形结合的思想方法求参数的值或范围时要注意参数的几何意义对函数图象的影响，变动函数的图象，观察参数值的变化以求其范围.