分类讨论思想在函数单调性讨论中的应用

分类讨论思想在函数单调性讨论中的应用

杨冬梅

北京工业大学附中 北京 100022

【摘要】高中是一个重要的教育阶段，因为高中三年后便是无数莘莘学子为之努力的高考，所以高中三年的课程安排较其他教育阶段更为紧凑，课程内容变得更深且复杂。高中数学作为高中课程的主科之一，因为涉及到的专业知识较初中复杂，往往令更多的学生“望而却步”，而大多数学生也因为数学知识内容复杂退而求其次，选择文科。而在高中数学教学过程中，一个好的学习方法对于大多数学生来说，确实能够助其“一臂之力”。本文就分类讨论思想在函数单调性讨论中的应用进行探究。

【关键词】高中数学；分类讨论思想；函数单调性

【前言】高中数学是初中数学学科的延伸，二者看似有关联却又“各自为政”，高中数学按照其内容的不同可以划分为两种类型，即代数和几何，二者相辅相成。为了帮助学生更好的理解高中数学题中涉及到的理论知识，广大高中数学教学工作者一直致力于对高中数学解题思想的研究，并将其应用至解题过程中，使其在学习数学知识的同时，能够“易如反掌”，便于理解。分类讨论思想便是其中之一，在该解题技巧应用的过程中，广大学生纷纷表示益处颇多，甚至打破了其对于高职数学的固有认知。

1. 分类讨论思想概述

1. 概念

在数学领域，任何结论并非独立存在的，而是需要成立的条件，而每种数学方法的使用也有一定的适用范围，而有些数学结论并非“独一无二”的。比如数学中常见的用字母代替数值的表现形式，这就意味着若字母的取值不同，其结果必然会受到一定的影响。所谓分类讨论思想，即教师根据问题的类型与特点将其进行分类思考与讨论，并针对每种不同类型的问题及解题思想进行总结^[1]。

2. 应用原则

在应用分类讨论思想的同时，广大教师要明确其适用的原则：

首先，在进行分类讨论时，所有划分的标准必须统一，切不可跨级别进行分类。其次，分类的过程要按部就班、循序渐进，切不可擅自化繁为简，或者忽略某个不重要的步骤，在分类讨论的过程中，只要是能够分出的类别就都是重要的^[2]。

3. 步骤

在分类讨论思想中，教师首先要逐一列出所有的分类对象，比如x²=9，那就要列出x的所有取值，可能是3，亦或是-3，所以在讨论的过程中就要针对上述两种情况进行讨论。其次，教师要列举出所有的分类标准，之后逐级分类，并对每一级分类得到的结果进行总结，紧接着对所有得出的结果进行逐一的验证，开启另一轮的“筛选”，最后由教师对其结果进行归纳和总结。

2. 分类讨论思想在函数单调性问题中的应用

1. 教学前期的整合

备课是广大教师在实施教学工作前一项重要的准备工作，因为教师是“传道、授业、解惑”的，所以教师要整体把握好所教授知识的“整体方向”^[3]。函数单调性是代数的重要组成部分，所谓函数的单调性，即函数的取值范围，因为函数所在象限的不同，其单调性的结果也深受影响。而教师则要做到函数问题的有效分类，因为不同类型题目的解题技巧也存在本质上的不同，所以广大教师要充分梳理好知识脉络，并逐一击破。

比如在例题1：f（x）=a²inx-x²+ax，（a＞0），函数的定义域为＞0 ，因为题目中明确了a的取值范围为大于0，所以在解题时可以得出a₁=-a/2，x₂=a，在求解的过程中，对于两个根的大小自然是心中有数，所以该函数的定义域也清晰可见。

2. 积极引导解题中期的分类依据

教师与学生是课堂上不可或缺的主体，二者缺一不可，所以，教师在课堂上向学生渗透数学思想自然而然成为了一项重要的选择^[4]。而在解题的过程中，因为函数定义域、值域的概念早已深入到每个学生的心里，所以教师往往要避开就题解题的思维模式，在对题组进行分类的基础上，对所有问题的解题技巧分门别类。

比如在例题2：f（x）=kx+b，在对k的取值进行探讨时，要分别列出k的三种取值范围，即k＜0、k=0以及k＞0三种情况，并分别得出结论，从而确定题目中所给定的区间与定义域之间的关系。

【结论】综上所述，数学思想中渗透的数学知识丰富多彩，而教师在向学生灌输数学思想的过程中应该避重就轻，既不会让学生犯难，还能够让学生将解题技巧轻松应用至解题的过程中，做到融会贯通。本文首先详细介绍了分类讨论思想，明确了分类讨论思想的概念与应用原则，最后从教学前期的整合、积极引导解题中期的分类依据两个阶段论述了分类讨论思想在函数单调性问题中的应用。在分类讨论思想灵活运用的过程中，为广大高中生的数学学习添砖加瓦，使其在遇到相应的数学问题后都能够迎刃而解。

【参考文献】

[1] 崔文坤. 例谈分类讨论思想在函数单调性问题中的应用[J]. 课程教育研究：学法教法研究, 2018，21(23):71-72.

[2] 曹吉龙. 例析分类讨论思想在求函数单调区间问题中的运用[J]. 新课程(下), 2020，23(010):142.

[3] 苏家正. 分类讨论思想在高中数学解题中的运用初探[J]. 中学生数理化(学习研究), 2019，96(3)：59-60.

[4] 胡昌安. 分类讨论思想在函数中的应用[J]. 高中数理化, 2019，36(Z2):6-7,共2页.