凸显概念本质 为理解而教——“平均数”打造历程与思考

凸显概念本质 为理解而教 ——“平均数”打造历程与思

考

张琳琳

无锡市张泾实验小学

平均数是统计中的一个重要的概念。在小学数学中,它常用于表示统计对象的整体一般水平。初次试上时，我们认真研读教材，以教材中的情境“男、女生谁投的更准一些”作为问题任务展开教学，利用“人数不同，怎样比较更加公平”这个矛盾冲突，让学生去感受平均数的统计价值和必要性，但发现仅仅用教材中这样单一的层次让学生去理解平均数，确实欠点火候，学生只知其形，不明其理。所以在后期的磨课过程中，我们张小数学团队在“平均数”这个本质概念上下足了功夫，像这样一个抽象的概念，如何让学生真真切切地感受到它的存在呢？我想这就需要我们寻找学生思维的起点，帮助学生搭建概念理解的脚手架，对概念进行多角度的辨析与理解，逐步探究凸显概念本质，基于如上认识，我们对“平均数”的教学，就不能囿于课本，浅尝辄止，而应该让知识的本质活起来，从而使其充分享受到数学知识之美。所以修改后我们进行了这样几个层次的处理：

一、玩中感悟——生根发芽

著名特级教师于漪老师说过这样的一句话：“课的第一锤要敲在学生的心灵上，激发起他们的思维火花，或像磁石一样把学生牢牢吸引住。”简简单单的一次投球游戏，让学生从玩中初步感悟一组数据的总体水平，通过比较“哪一组投球水平高一些”，让学生理解3个人的的投球水平并不能代表整个一小组的投球水平，也就是从统计学的角度来理解平均数的意义，它不同于原始数据中的每一个具体数据,但又与每一个原始数据都相关，表示的是这组数据的总体水平，这一层次也是为后面“平均数”概念的理解做好铺垫。

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3. 体验过程——开花授粉

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2. 从无到有，深度建构“平均数”的模型

在第一、第二小组比较投球水平的过程中，学生会发现比较总个数在这一情景中是不公平的，那应该用怎样的一个数来比才公平呢？我们拿出了第一小组的数据1，1，5，8，15这5个数字，围绕核心问题“你觉得哪个数可以代表他们一小组的投球水平呢？”引发思维冲突，这里只呈现了一个小组的投球情况，引发学生在一组数据里进行研究，直指平均数的本质，跳脱了由“比较”而产生的需求，体会一组数据也需要数据代表，那在“找这一组数据的代表”的过程中，使思维从“单个数据”的关注走向“一组数据”的关注。同时引发质疑：“6是哪来的呢？”进而从几何直观及算法两种角度体会平均数的意义，也初步明晰了它的作用——即代表总体水平。其次也在学生估一估的过程中，让学生感受到平均数藏在最大数和最小数之间，加强了学生对平均数的认识和理解。关于移多补少，为什么在这里这样轻轻的带过？是因为感觉学生对于这样的一张统计图要去求平均数的话，不会自然而然的想到移多补少，肯定会心中先算出平均数，再来移一移，所以根据学生的这一种现状，我们还是把这节课的重点放在建构平均数概念的模型，凸显思维品质上，从无到有，从虚到实。

（2）聚焦理答，逐步渗透“平均数”的虚拟性

基于以上对平均数的理解，我们在教学中安排了相关联的教学活动，并设计了几组相应的启发性问题。问题一：“哪一组的水平高一些呢？你准备怎么比？”将投球水平的比较聚焦到一个数。

问 题二：你觉得几个可以代表第一组的投球水平？针对第二个问题，教师又根据学生课堂生成的想法进行了四次循序追问，“用15个代表第一组的投球水平，你们是怎么想的？”，二次追问“用15代表第一组的投球水平不太好，那1个呢？”第三次追问“8个，你是怎么想的？”其实8个孩子的想法也是有它的合理性的，所以我们没有加以否定，只不过这节课我们是用平均数来比较谁的水平高一些，最后第四次追问“1，1，5，8，15，这5个数中没有6，这个6是怎么来的呢？”教师通过积极的理答和恰当的点拨，使这些信息得到充分的利用，并使师生之间的互动向着更高层次的目标推进，学生也在交流互动中逐步感知隐藏在数据中的6，也就是这个平均数它是一个虚拟的数据，让学生暴露认知，经过层层推进的合理生成，理解平均数的内涵。

（3）借助直观，深刻体悟“平均数”的灵敏性

此 次引入了几何画板，老师抛出问题情境“第三组很不服气，如何想办法让她们反败为胜”，在这里学生会想到增加一个水平高的人，或者去掉一个水平低的人，无论是哪一种情况，学生都会去猜测和想象增加或减少的这一个人，他们的投球水平,会使平均数发生什么变化呢?或者什么情况下平均数会变化，什么情况下又不变呢?这个数学活动把就把整节课的教学推向深入，学生在猜测和想象中感悟到一组数据的平均数会受到这组数据中每一个数据的影响，也能深刻体悟到像极大数或极小数这样的极端数据对平均数的影响，平均数很灵敏。在充分挖掘数据里蕴藏着的大量信息过程中，驱动学生的思维往宽处走、往深处探，努力彰显出数学教学的无穷魅力。

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3. 数中说理——结果留种

练习环节中，教师设计了复杂程度不同的问题，即平均身高、平均水深、平均寿命等等，另外还通过立定跳远成绩的问题来说明生活中并不是所有的数据都需要求平均数，利用各种问题情境考察学生如何运用概念，让学生从内在的需要中感悟、理解和运用平均数。此环节的设计也是结合学生的生活经验，通过合理设置脚手架，探究概念的外延与内涵，将学生的思维从表面逐步引向深层，从生活引向数学，达到对平均数的深度理解。

总而言之，平均数这个概念对小学生而言非常的抽象，是一个虚拟的存在，具有它的灵敏性，所以在概念探究时，教者都会努力想办法结合情境将概念具体化，我相信这一次磨课，也是概念教学的一次历练，一次超越，在为孩子搭建脚手架的同时，我们教者也更加关注数学学习的过程性与层次性，更加关注概念教学的深度理解。