放缩裂项求和与放缩等比求和证明不等式

放缩裂项求和与放缩等比求和证明不等式

张伟冰

河源中学 广东 河源 517000

摘要：常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，放缩的目的是为了能求和，利用裂项相消求和或等比数列的求和公式求和。

关键词：不等式 等比数列 裂项 放缩 分母有理化 平方差公式 检验 指数函数的单调性

放缩法证明不等式是数列与函数中的难点内容，在历年全国各地高考试题和模拟题中都有考查。放缩法灵活多变，考同学们的洞察力， 要求同学们能选准方法，把握好从哪一项开始放能达到证明的目的，并且不忘检验放缩前 的几个取值，要求同学们能放到恰到好处，从而顺利答题。本文了就两种用放缩法求和来证明不等式的方法进行了阐述。

1. 放缩裂项求和

问题1：证明对一切正整数 ，

（1）有；

_（2）有；

（3）有。

分析：在必修5，我们只掌握了简单数列及等差和等比数列的求和，这三个不等式的左边是一个数列的前n项和，右边是一个常数，显然这一数列既不是我们熟悉的等差数列也不是我们熟悉的等比数列，我们没法求将其前n项和求出，考滤到本问题是证明不等式，我们只需证明不等式左边的式子不大于一个比右边的常数小的可求和的式子，于是想到可通过放大成可裂项相消求和的数列。

常见的几种形式的放缩裂项：

1. ＝ ；

＝ = ；

＝ ＝ = ；

（以上三种对 的放缩，显然第一种是放得最大的，第三种是放得最小的，通常放缩的尺度越小越好）

2. ；

3. 。

例1（2013广东19）设数列 的前 项和为 ，已知 ，

，

1. 求 的值；

（2）求数列 的的通项公式；

（3）证明对一切正整数 ，有 。

证明：由（2）得 ，∴_。要证

_即证

法一（选 ＝ 放缩）

①当 时，不等式为_，成立；

②当 时，不等式为_，成立；

③当 时，

综上可得对一切正整数 ， 成立。

法二（选＝= 放缩）

①当 时，不等式为_，成立；

②当 时，

综上可得对一切正整数 ， 成立。

法三（选＝＝= 放缩）

①当 时，不等式为_，成立；

②当 时，

_综上可得对一切正整数 ， 成立。

小结：选 ＝ 放缩，需检验 ，从第三项开始放才能证出；

选＝= 放缩，只需检验 ，从第二项开始放可以证出；选＝＝= 放缩，也是只需检验 ，从第二项开始放可以证出。

问题分析：（1）

法一（选 ＝ 放缩，只需检验 ，从第二项开始放可以证出）；

法二（选＝= 放缩，只需检验 ，从第二项开始放可以证出）；

_法三（选＝＝= 放缩，无需检验从第一项开始放可以证出）。

（3）

法一（选 ＝ 放缩，需检验 ，从第六项开始放才能证出）；

法二（选＝= 放缩，需检验 ，从第三项开始放才能证出）；

法三（选＝＝= 放缩，只需检验 ，从第二项开始放可以证出）。

小结：解决这类不等式恒成立问题，需细心观察，把握好需检验 的多少个取值，什么时候开始放缩可以达到证明的目的，通常放缩的尺度越小需检验的次数越少。

变式1.（2013湖北模拟18）已知正项数列 的首项 ，前 项和 满足 ，（ ）。

1. 求 的通项公式；

（2）若数列 的前 项和为 ，求证： （ ）。

变式2.（2013安徽模拟19）已知正项数列 的前 项和为 ，且

（1）求数列 的通项公式；

（2）求证 。

例2设函数 。

（1）求 的极值点；

（2）当 时，若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围；

（3）证明：

分析：这个不等式的左边是一个数列的前n项和，右边是一个常数，显然这一数列既不是我们熟悉的等差数列也不是我们熟悉的等比数列，我们没法求将其前n项和求出，考滤到本题是证明不等式，我们只需证明不等式左边的式子不大于一个比右边的表达式小的可求和的式子，于是想到可通过引用（2）结论进行放缩，再进一步放大成可裂项相消求和的数列。

证明：由（2）得 对任意的 成立，∴ ，∴

∴

。证毕。

方法总结一：

①放缩的尺度越小，需检验的值越少，越利于快速证出；

②放缩的目的是为了能裂项相消求和，从而达到证明的目的。

③利用不等式恒成立将对数结构放缩为二次函数结构，分离分式；

2. 放缩等比求和

_问题2：证明对一切正整数

_（1）有

_（2）有

分析：这二个不等式的左边是一个数列的前n项和，右边是一个常数，显然这二个数列既不是我们熟悉的等差数列也不是我们熟悉的等比数列，我们没法将其前n项和求出，考滤到本题是证明不等式，我们只需证明不等式左边的式子不大于一个比右边的常数小的可求和的式子，于是想到可通过放大成可用等比数列求和公式求和的数列。

两种常见的放缩等比：

1. 时，；

2. 时，＝ < ＝；

例2：（2014新课标17）已知数列

满足 =1， ．

（Ⅰ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；

（Ⅱ）证明： ．

证明：由（Ⅰ）得 ，要证 ，

即证：

①当 时，不等式为_，成立；

②当 时，∵

∴

_综上可得 对任意 成立。

例3：（2012广东19）设数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 成等差数列。

（1）求 的值；

（2）求数列 的的通项公式；

（3）证明对一切正整数 ，有 。

证明：由（Ⅰ）得 ，要证 ，

即证

①当 时，不等式为_，成立；

②当 时，∵＝ < ＝

∴

综上可得 对任意 成立。

方法总结二：

①利用指数函数的单调性将伪等比数列放缩为等比数列；

②放缩的目的是为了能利用等比数列的求和公式求和，从而达到证明的目的。

灵活地利用放缩法证明不等式，要求同学们在平时的学习中善于观察，找准入手点作答，有意识地去积累和总结一些常用的放缩模型和放缩方法；数列是特殊的函数，在函数的不等式的证明中，有时需要利用前面小问的结论来进行放缩，总之，对数列和函数题，要求同学们能从题目的要求得到启示！。

参考文献：

[1].普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》

[2].罗增儒《数学解题学引论》

[3].《5年高考3年模拟》

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