研学一道高考不等式试题

研学一道高考不等式试题

徐安祥

江苏省南京市六合区六合高级中学 21500

摘要 通过研学，掌握条件不等式常用的求最值的视角和常用的方法，渗透数学学科核心素养。

关键词 研学 条件不等式 视角 数学方法

历年高考都非常重视对基本不等式的考查，同时也是高考命题的热点。深度研究条件不等式求最值问题应是师生的常态。

一、题目再现与分析

题目1(2020年江苏卷，12)已知5x²y²+y⁴=1(x,y∈R)，则x²+y²的最小值为_____。

分析：题目1的条件有两个：①x,y∈R，②5x²y²+y⁴=1。条件①是整个命题的基础，是在实数范围内研究的；条件②是整个命题的题眼。条件②是两个变量x,y满足的一个等式关系，它的特点有：（1）等式的左边是次方都是4次的两项之和，它们有一个公因式y²，关注此并注意系数的调整得到解析二；（2）等式的左边中只有一项含有x²，可以解出x²，关注此可得解析一、解析八；（3）等式的右边只有一个常数1——可联想到“1”的巧用，得到解析五。待求是关于两个变量x,y的平方和。易于联想到圆——得到解析七。引入z=x²+y²，则可做变形，代入条件得到解析六；与条件综合应用得到解析八~解析十。

二、题目1的求解

2.1 基本不等式视角

条件等式最值的常规求解方法是经过适当转化，凑成基本不等式或重要不等式的形式，再应用公式求得待求式子的最值。

解析一(代入法)：由条件得x²= ，则x²+y²＝ ，当且仅当 时取等号。

解析二(基本不等式法)：4＝(5x²+y²)4y²≤ = ,所以x²+y²≥ ，当且仅当5x²+y²＝4y²=2,即 时取等号。

解析三(配方法)：16＝80x²y²+16y⁴=50x²y²+16y⁴+2×(5x²)(3y²)≤50x²y²+16y⁴+25x⁴+9y⁴＝25(x²+y²)²，所以x²+y²≥ ，当且仅当5x²＝3y²,即 时取等号。

解析四(探源法)：设想将x²y²的系数5拆开，一部分保留一部分应用不等式放大，然后配成完全平方式。设1＝5x²y²+y⁴=(5－2λμ)x²y²+y⁴+2λμx²y²≤(5－2λμ)x²y²+y⁴+λ²x⁴+μ²y⁴=(5－2λμ)x²y²+(1+μ²)y⁴+λ²x⁴，为配成完全平方式，则必有1+μ²＝λ²，5－2λμ＝2 ，解得λ＝ ，μ＝ ，故1＝5x²y²+y⁴=x²y²+y⁴+ ≤x²y²+y⁴+x⁴+y⁴= (x²+y²)²，所以x²+y²≥ ，当且仅当5x²＝3y²,即 时取等号。

点评：解析一(代入法)是最易想到的和易操作的方法，解析二的系数拼凑和解析三的系数拼凑需要有一定的眼力，解析四是解析二和解析三的思维过程的显化。

2.2 二次方程视角(判别式)

能应用基本不等式求解的题目，必能转化为二次方程有解，应用判别式求解。如何转化为二次方程呢？充分应用常数特征和代入法都能实现这种转化。

解析五(齐次式法)：设T＝x²+y²，y²=kx²，则T²＝ ＝ ，即(T²－1)k²+(5T²－2)k－1=0，T＝1时，k= ；当T≠1时，△＝(5T²－2)²+4(T²－1)＝T²(25T²－16)≥0，又T²≥0，故25T²－16≥0，解得T≥ ，综上T的最小值为 。

解析六(判别式法)：设T＝x²+y²，则x²=T－y²，代入条件得5(T－y²)y²+y⁴=1,即4y⁴－5Ty²+1=0, △＝25T²－16≥0,解得T≥ ，综上T的最小值为 。

点评：构造齐次式是基于条件和待求的次方一致而想到的。代入法转化为关于y²的二次式，运算量更小。

2.3 三角换元视角

将条件和待求作适当换元，能揭示条件与待求的关系。由式子的特点选择相应的换元。由待求的平方和，想到三角换元。

解析七(三角换元)：设T＝x²+y²，x＝ cosθ，y＝ sinθ，代入条件5x²y²+y⁴=1得T²(5cos²θsin²θ+sin⁴θ)＝1，T²sin²θ(5cos²θ+sin²θ)＝1，T²sin²θ(4cos²θ+1)＝1，T²(sin²2θ+sin²θ)=1,

T²(1－cos²2θ+ )=1, T² [－(cos2θ+ )²+ ]=1,故T²≥ ，T≥ ，∴T的最小值为 。

点评：三角换元是基于平方和的形式而想到的。从操作上看，解析五、解析六和解析七都没有难度，从思维上看，较解析二和解析三易于想到。

求条件不等式最值的常用方法主要有基本不等式法、代入法(可转化为函数也可应用基本不等式)、构造齐次式后引入适当的倍数换元转化为一元二次方程有解的判别式法、三角换元等。要根据题目中条件灵活选择。

2.4 几何意义视角

从几何的角度审视条件和待求，需要引入适当的变量，对条件和待求作变换，才能将相应的几何意义找到。应用“形”到“数”解决问题。

解析八(几何意义法：)设u=x²,v=y²,z=u+v，则u= ，由v>0,u≥0，得0

u= (0 (0

设直线z=u+v与曲线u= (00,u₀)，

易求 ，则－1＝ ，解得v₀＝ ，故切点为P( )，

当直线z=u+v经过P( )时z最小，最小值为 。

綜上，x²+y²的最小值为 ，当且仅当x²＝ ，y²＝ 时取最小值。

解析八是运用导数研究切线入手求解。几何视角的难点是如何将数转化为形，再形的特点解决数的问题。解法八通过换元引入直线和曲线，从而为几何法提供了便利条件。

2020年的江苏高考第12题短小精悍，内蕴丰富，从不同角度就有不同的解读。相比较往年的不等式考试题目，2020年的考查不等式的题目难度降低，体现出与新课标接轨的“稳”。