初高中数学函数概念教学的衔接问题分析

初高中数学函数概念教学的衔接问题分析

吴慧娇

福建省厦门市湖里实验中学 361000

摘要 函数是描述运动变化规律的重要数学模型，它刻画了变化过程中两个变量之间的对应关系，是联系方程和不等式相关知识及数与形的纽带．函数概念是中学数学的核心概念，因此，在初中数学教学中，如何合理设计函数概念的教学，帮助学生深入理解函数概念和应用函数关系解决问题，从而更好地衔接高中函数概念学习，是一个值得关注的问题。

关键词 初高中衔接 函数概念 教学

数学是研究数量关系和空间形式的科学。^[1]数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界处于变化之中，无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题，函数正是研究运动变化重要的数学模型，它在当今数学各个领域都扮演着极为重要的角色。因此，初高中数学教学中对函数概念的教学应当加以重视.

一、初高中函数概念对比

初中数学教材中将函数定义为：如果在一变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数.

高中数学将函数定义为：给定两个非空实数集合A和B，以及对应关系f，若对于集合A中的每一个实数x，集合B中有唯一实数y=f（x）与x对应，则称y=f（x）为集合A上的函数.

初中函数概念表述通常称为函数的“变量说”，它强调用函数描述一个变化过程，而高中的表述称为“对应关系说”，它更强调实数集与实数集间的对应关系，强调对应的结果，不是过程，两个函数的定义域相同，且相同变量值对应的函数值也相同，两个函数就是同一个函数，相比之下，高中的定义更进一步抽象，使不同函数可以进行加、减、乘、除等运算，函数研究的内涵和应用的范围得以扩展。

二、初高中课标关于函数概念的教学要求

义务教育初中数学课程标准（2011版）对“函数”的要求：

1. 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；

2. 结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例.^[1]

普通高中数学课程标准（2017版）提出：“函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。”^[2]

三、函数概念在初高中教学中遇到的困惑

初中数学教师在教授函数概念时，遇到如下问题：

1. 怎么让直观思维的初中学生理解函数这一抽象的概念？

2. 高中函数对应关系说中的“一对一”“多对一”，在初中是否需要渗透对比？

_{高中数学教师在教授函数概念时，遇到如下问题：}

_{（1）教师对学生的认知心理、最近发展区、认知起点、学习能力、思维发展等研究不够深入，衔接存在一定偏差。}

_{（2）虽经过初中函数学习，但学生对函数仍存在一些模糊甚至错误的认识：函数都有解析式，解析式中都要有两个变化的量，且一个量随另一个量的变化而变化（对常函数心理上不认可），都可以画出图像，图像时“连绵不断”的（尚不可理解认可离散型函数）}^[3]

四、初高中函数概念教学几点建议

1.注意区分初高中的教学重点，安排符合课程要求的教学内容；

通过梳理，初高中函数概念都需掌握函数概念辨析、求自变量取值范围（定义域）、求函数值取值范围（值域）这些类型的问题，但初中函数概念侧重概念中变量与变量之间关系的理解，高中侧重对应关系的理解，初中教学中如果对对应中“多对一”“一对多”进行过多的强调和对比，会增加学生的理解负担，容易引起概念混淆，因此，教师在教学的边界区域应该划分清楚界线，抓住初中的重点进行教学，非重点部分留作高中再进行系统教学。

2.注重列举易理解的生活实例，创造适合学生思维的教学情境；

概念教学要同时抓引进的“情境化”和提炼的“去情境化”^[4]。函数这一概念从生活中抽象而来，又应用到生活中去。因此，在函数概念的教学中，为帮助直观思维的初中学生理解抽象的函数概念，初中教师教学中应当引进“情境化”，多列举生活实例，从生活中感受变量变化依赖关系，高中学生的抽象思维发展较好，因此高中教师可以提炼地“去情境化”教学，从集合的映射关系理解函数的概念，进而从初中“变量说”过度到高中“对应关系说”，让学生充分经历：感性认识、分化本质、概括形成定义、应用强化的阶段^[1]，从直观思维向抽象思维发展，形成概念数学化提炼。

3.注意避开旧知对新知负迁移，设计有助学生理解的教学环节；

学生学习高中“对应说”函数概念时，若联系对比“变量说”，学生难免产生疑问，当下“对应说”与初中“变量说”有何区别联系？如果教师急于强调二者本质一致，难免产生新的疑问：既然一样，为什么要学习另一种？教学会陷入人越急越讲不清的窘境。因此教学中，应当避开旧知“变量说”对新知“对应说”的负迁移，暂且不提“变量说”概念，而是引导学生“从定义出发”去思考判断，有利于突出当前的教学重点，有利于学生对“对应说”概念的理解，有利于培养学生形式化思维习惯——用概念思考，还突出了函数本质属性——对应。

^[3]

4.注重整体把握初高教材结构，体现新课程中螺旋上升的理念.

初中函数概念的建立需要以认识变量为基础，感悟现实生活中变量的广泛存在，有助于学生由“静”到“动”的思维转换，体会变量之间的依存关系，有助于认识到现实事物之间的普遍联系和相互作用，这是进一步抽象概括函数概念的基础，从生活实例中体会研究变量之间关系的必要性，解决的是“为什么要学习函数概念”的问题，这是学习内容的价值性认识，是学习出发点和归宿，为后续学习提供内在驱动力。后续学习具体函数时，虽然每个学习内容都遵循相同的基本过程（背景—定义—性质—应用），但每一次学习都是一次认识上的提升，在中考复习时，从具体函数学习中回到函数概念，学生的理解更深刻，进入高中学习中，从”对应说”理解函数概念，更接近函数的本质属性，让孩子体会“螺旋上升”的学习过程，而教师在备课中更应整体性地把握教材，实现每一阶段的“螺旋上升”.^[3]

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.《义务教育数学课程标准》（2011 年版）[M].北京.北京师范大学出版社，2011:45.

[2]中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准》（2017年版）[M].北京.人民教育出版社，2017.

[3].渠东剑，从螺旋上升视角，谈初高中数学衔接[J].中学数学教学参考：中旬,2016（3）:6-9

[4].罗增儒，数学概念的教学认识[J].中学数学教学参考：中旬,2016（4）:2-3