最值求法浅谈

最值求法浅谈

周茂林

湖北省利川市第五中学 邮编 445400

最值问题是高中数学的一个难点,它具有多元化、广泛性、渗透性的特点，在各级各类考试中，屡有出现，本文就最值问题的解法作点探讨，供参考。

1:利用“二分法”求最值

例1 函数 的最小值（ ）。

A．190 B．171 C．90 D．45

分析 因 表示数轴上的动点 到 之间的距离。当 最小时， 为区间[1，19]内的任意一个分点；当 最小时， 为区间[3，17]内的任意一个分点；…当 最小时， 为区间[9，11]内的任意一个分点；当 最小时， ，所以当 为区间[1，19]、[2，18]、[3，17]、…[9，11]共同的二等分点，即 时， 取最小值。

2:利用三角代换求最值

例2 求函数 的最值。

分析 此题解法很多，然而注意到其结构与万能分式 的结构基本一致，

故可令 ，

则 ， ＜ ＜

又－1≤ ≤1，所以 ，

3:利用导数求最值

例3 求函数 , 的最大值和最小值。

解: ,令 ,方程无解.

函数 在 上是增函数.

故当 时, ，当 时,

4:利用函数的单调性求最值

例4 设 、 、 均是实数，且 ＋ ＋ ＝1，求三元函数 的最小值。

分析 我们知道，单调增函数 具有性质 ≥0，单调减函数 具有性质 ≤0。

考察函数 ，可知 是奇函数，

由于当 ＞0时， 在（0，1）内递减，

易知 在（0，1）内递增，

而对于 ， 且 ≤ 时，

有 ≥0，

所以，对任意 ，

有 ≥0，

故 ≥ 。

同理， ≥ ， ≥

三式相加,有 ≥ ，当 时，

5:利用均值不等式求最值

例5设 为自然数, 为实数,且满足 ,则 的最小值是______。

解: > .由均值不等式得,

故

当且仅当 时,上式取等号.故 的最小值是

6:利用向量求最值

例6 已知实数 ， ， ， 满足 ， ，求 的最大值。

分析 此题可用多种方法，但若构造向量，更显简捷，设 ， ，则 ， ，所以 ＜ ， ＞ ＜ ， ＞≤15，当且仅当 ＜ ， ＞＝1时取等号，∴

7:利用对称性求最值

1. 7. 如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝ ，∠BAC＝30°，

在AB，AC上各有一点E和D，

求BD＋DE＋EC的最小值。

分析 要求这三条折线和的最小值，感觉上有点无从下手，如果引进坐标系，实施数形转换，运算十分繁难，但根据图形结构特征，利用对称变换，就一目了然。

在平面内设点B 关于直线AC的对称点为B₁，点C关于直线AB的对称点为C₁，连接B₁C₁的长就是三条折线和的最小值（因BD＋DE＋EC＝B₁D＋DE＋E₁C≥B₁C₁）。由对称性知，AC₁＝AB＝AC＝AB₁＝ ，∠B₁A₁C₁＝90°，这样容易求得B₁C₁的长为 ，即BD＋DE＋EC＝

8:利用线性规划求最值

例8 已知 ， ， ，求 的最小值。

分析 此题可用不等式法求解，若利用线性规划，数形结合，更能明白其中奥妙。

目标表达式变形得 ，

设 ，它表示过点 与点Q（0，－2）的直线的斜率，而动点P的轨迹为 （0＜ ≤ ），

由点斜式得直线PQ方程为 ，

在抛物线一段弧上选取其边界点O（0，0）、 ，显然边界点O、A在直线的两侧或A点在其上，

故有 ≤0，即 ≥

所以 ≥ 。∴

9:利用几何模型求最值

例9 已知0≤ ≤1，0≤ ≤1，0≤ ≤1，求 的最大值。

分析 题中字母较多，若用不等式法易产生误差，而构造几何模型，简单明了，如图，构造边长为1的正三角形ABC，易知 ≤

即 ≤ ，

所以 ≤1，其最大值为1