小议同一法

小议同一法

姚国成

福建省莆田青璜中学 351111

先来看人教版教科书八下课后一道习题：

15.如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE丄AG于点E，BF

DE.且交AG于点F.求证：AF-BF-EF.

16. 如图，在△ABC中，BD. CE分别是边AC, AB上的中线.

BD与CE相交于点O. B0与OD的长度有什么关系？ BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：分别作BO,CO的中点M,N,链接ED,EM,MN,ND。）

本题第一问为重心的性质，按题后提示作辅助线，根据中位线和平行四边形性质易证OB=2OD

重 点来研究第二问，实质考查三角形三条中线共点，按已学知识可如下证明：

连AO并延长到G使OG=OA,AG交BC于F,连BG、CG,

OE∥BG,OE=0.5BG→OC∥ BG,OC=BG

→四边形OCGB为平行四边形

→F为BC中点

→BC边上中线AF也过点O

现在来看看另一种证法：

设中线BD、CE交于点0，由第一问易得BO = BD,
设中线BD、AF交于点O’，同理可得BO’= BD,
所以0与0’重合，即：△ABC三条中线交于同一点0。

上面这种证明方法为间接证法中的一种----同一法

    当要证明某图形具有某种性质而不易直接证得时,使用此法有时可克服这种困难.其具体做法是：先作出一个具有所说的性质的图形,然后证明所作的图形与题设的其实是同一个图形,从而间接地证明出题设的图形具有这种性质。

如教科书中证明勾股定理的逆定理的证明

再来看看几个定理的逆命题证明：

1、已知：三角形中一个30°角所对的边为另一边长的一半,

求证：这个三角形为直角三角形

已知: △ABC 中，AB=2AC,∠B=30° ,

求证：∠ACB=90°

证明：过A作AC’丄BC于C’

在 RT△ABC 中，∠B=30°

AB=2AC’

又 AB=2AC,AC’ 丄 BC

C与C’重合，即∠ACB=∠C’=90°

2、过三角形一边中点平行于另一边的直线比平分第三边

已知: △ABC 中，AD=BD,DE∥BC 交 AC 于 E

求证：AE=CE

证明：取AC中点E’,连接DE

AD=BD,AE'=CE'

DF∥BC

DE∥BC 交 AC 于 E

E、E'重合，即AE=CE.

注：本题结论在许多几何题中广泛运用，也可直接证明

3 、过圆的两条平行切线的切点的直线必过圆心

已知：直线m、n分别切00于点A、B,m〃n

求证：AB过圆心0

证明：连0A、0B,延长A0交n于点B'

直线m、n分别切G)0于点A、B

0A丄m，0B丄n

0A丄m, m∥n

0A丄n即OB'丄n

B、B'重合，即AB过圆心0

已知正方形ABCD,点M边AB的中点.

（1）如图1,点G为线段CM上的一点，且∠aGB=90°,延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F.

求证：BE=CF;

求证：BE²=BC・CE.

（2）如图2,在边BC上取一点E,满足BE²=BC・CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长CD于点F,求tan∠CBF的值.

如

图3

图3,在MC上取一点C',使MG' 二 ^-AB,连接 AG', BG',延长AC'交BC于E',则易得∠AG'B=90°，由（1）得 BE' =CE' • BC,由
BE² = CE・BC,可得E,E'重合，则
G，G'重合,所以CF=BE,tan∠CBF= = =

用同一法证明一个命题的条件是：所证命题的题设条件是唯一存在的,其结论也是唯一存在的.这种命题一旦证明是正确的话,则它的逆命题也一定正确,两者之间是等价性的.这种命题在数学上称为符合同一法则的命题,对于这一类命题,常可用同一法证明.