“黄金代换”在天体运动中应用的探究

“黄金代换”在天体运动中应用的探究

占美义

新疆乌苏市第一中学 新疆 乌苏 833000

摘要：在不考虑天体自转的前提下，物体在天体表面附近受到的重力大小可以认为等于天体对物体的万有引力大小。设物体质量为 ，地球表面重力加速度为 ，万有引力常量为 ，地球半径为 ，地球质量为 ，列出等式，经过化简，可以得到 ，这个式子在天体运动中用途非常广，用它解决问题会事半功倍，我们把这个式子称为“黄金代换”。在不同的位置，“黄金代换”的形式会有一点不一样。

关键词：天体运动、黄金代换、半径、质量、重力加速度

一．物体在地球表面上随地球一起运动

当物体在地球表面上运动时，物体受到地球的万有引力，而万有引力可以分解为重力和随地球自转做圆周运动所需要的向心力，在不考虑地球自转的前提下，向心力可以忽略，故可以认为物体受到的万有引力等于物体受到的重力，其中 ，即 ，所以 ，这就是黄金代换公式。利用这个公式可以计算天体的质量和天体表面的重力加速度，这个公式也可以用在其他天体表面计算相应的物理量。

例1．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。

(1)求地球的质量；

(2)试推导第一宇宙速度的表达式（卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动时的速度）。

【分析】

本题考查万有引力与航天，在地球表面的物体，如果不考虑地球的自转，则万有引力等于重力，由万有引力定律可推导出第一宇宙速度的表达式。

(1)设地球表面某物体质量为 ，不考虑地球自转，有

地球质量为

(2)卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，有

故第一宇宙速度为

2. 物体在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动

物体此时做匀速圆周运动的半径近似等于地球半径 ，其所需要的向心力由重力提供，即 ，可得 ，尤其是在地球质量未知的时候，可以用这个式子计算地球质量和其他一些物理量，这个结论同样可以用在其他天体表面附近计算相应的物理量。

例2．我国月球探测车“玉兔二号”成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区，并通过“鹊桥”中继星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图。“玉兔二号”月球车在月球表面测得物体从高为 的地方由静止自由下落所用的时间为 。已知月球半径为 ，忽略月球的自转影响，引力常量为 。求：

(1)月球表面重力加速度 ；

(2)月球的质量；

(3)月球的第一宇宙速度。

【分析】

（1）物体做自由落体运动，下落高度

月球表面的重力加速度

（2）忽略月球自转影响，月球表面的物体受到的重力等于万有引力，即

解得月球质量

（3）卫星绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得

解得月球的第一宇宙速度

2. 物体在距离地面高度为 处环绕地球做匀速圆周运动

当物体在距离地面高度为 处环绕地球做匀速圆周运动时，它受到的万有引力仍然等于重力，即 ，可得 ，其中 为物体在高度为 处的重力加速度或向心加速度， 为物体距离地球中心的距离。这个结论也可以用在物体距离其他天体表面高为 处做匀速圆周运动的问题中。

例3．一颗绕地球运转的卫星，距地面高度为 。已知地球半径为R，地面重力加速度为 。求这颗卫星运转的线速度大小和周期分别是多少？

【分析】

在地球表面重力与万有引力相等，故有

可得

GM=gR²

卫星运动行时万有引力提供圆周运动向心力有

得卫星的线速度

卫星的周期为

T

通过以上分析可知，在用万有引力定律解题时，如果 是未知量，而 已知，或者根据题目给的条件可以求出 时，都可以用 代替 ，一定要注意， 是物体距离天体中心的距离。有些题目会给出地球表面的重力加速度 和地球半径 ，让我们计算物体在距离地球任意高度 处的运行线速度、角速度和周期，此时我们可以利用 黄金代换作为中间桥梁，求出 ，从而会使问题变得很简单。黄金代换在天体运动类的题目中运用的频率很高，作为桥梁，在天体表面和距离天体有一定的高度处都可以用，学会使用它对我们解决实际问题有很大帮助。