二次曲线与二次曲线交点问 题

二次曲线与二次曲线交点问 题

高国祥

福建省漳州巿第一中学

摘要 高考说明中明确指出："对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)"． 但是，在解答某些问题时，难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意。

关键词 二次曲线 交点 等价

在高二的教学过程中，练习册中有这么一道学习延伸的例题，有许多学生看了解答都不能理解。例题是这样的：当实数ａ为何值时，圆 与抛物线 有两个公共点？

解答如下：联立方程 ……….①

消去y得： …………………..②

要使圆与抛物线有两个交点即使方程组①有两解，即方程②有一正根一负根或方程②有两相等的正根即

学生最不能理解的地方是方程组①与方程②解的个数情况是不一致的，也就是说方程②的解不一定是方程组①的解，方程②的一个解不一定是方程组①的一个解。估计是受之前学习的也是高中数学主要研究的问题：直线与二次曲线交点问题的思维定势的影响。在直线与二次曲线交点问题中，我们也是联立直线与二次曲线组，然后消元得到类似一元二次方程，再去讨论类似一元二次方程的解的情况，与方程组的解的情况、个数是一致的。而本例中方程①中是利用 消去y的，所以 ，且一个正根x代入 有两个y值，也就是说方程②的非负解才是方程组①的解，方程②的负数不是方程组①的解，方程②的一个正数解对应方程组①的两个解，方程②的解x=0对应方程组①的解 ,所以圆与抛物线要有两个交点即使使方程组①有两解，即方程②有一正根一负根或方程②有两相等的正根两种情况，从而转化为一元二次方程②的根的分布问题利用判别式和韦达定理去解决。对应图形如下：圆的方程可化为： 图形为圆心在x轴上的动圆

y

F

方程组①的第一种情况和所对应的方程②的解的示意图

x

方程组①的第二种情况和所对应的方程②的解的示意图

　这道例题可改为：实数a为何值时，圆 与抛物线 （1）有一个公共点？（2）有三个公共点？（3）有四个公共点？（4）没有公共点？

解析：（1）等价为方程组①有一解等价方程②中

　　　　即：

对 应的图形为

方程组①的第二种情况和所对应的方程②的解的示意图

（2）等价为方程组①有三个解等价方程②中

　　　　即：

对 应的图形为

O

方程组①的解的情况和所对应的方程②的解的示意图

（3）等价为方程组①有四个解等价方程②中

即：

对 应的图形为

方程组①的解的情况和所对应的方程②的解的示意图

（4）等价为方程组①有无解等价方程②中无解或

即

方程组①的解的两种情况和所对应的方程②的解的示意图

由于方程中的参数对二次曲线相离、相切、相交这三种位置关系的连续性影响，所以此类问题也可以通过数形结合解决．首先求出相切时或是特殊位置的参数的值，然后根据图形变化与参数变化的对应规律，交点个数与参数范围的关系则由图可得

　　还有在高二的一次考试中，有一道题是这样子的：

如图，已知椭圆C： 的离心率为 ，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T： 设圆T与椭圆C交于点M与点N，

（ 1）求椭圆C的方程

（

M

并 求此时圆T的方程

（3）设点P是椭圆C上异于M、N　

的

N

与X轴交于点R、S，O为坐标原点，

求证：｜OR｜｜OS｜为定值

由 ,而在求解第二步时，很多学生给出这样的解答：联立圆与椭圆的方程 　　设 且有 ，将 代入圆T的方程消去y 得到

上面的解法的错误是由于学生以为二次曲线与二次曲线相交问题与之前经常的直线与二次曲线相交问题是一样的，从而按照直线与二次曲线的方法去处理而导致的错误。

若要用联立圆与椭圆方程的方法，其实圆与椭圆的两个交点等价于方程组①有两组不同的解，而这两个解只是等价于方程③在（－2,2）内只有一个解即可，再用根的分布解决，令方程③的左边为f(x)即 解得r的取值范围后再去求 的最小值，但此法太麻烦。

所以在高中阶段我们应避免联立二次曲线与二次曲线的方程，因为这种解法很容易出错又麻烦，而用另外的方法去处理。

本题（2）只需用椭圆方程来消元即可，设 ，