线性规划知识的交汇点

线性规划知识的交汇点

罗荣枝

线性规划知识的交汇点

罗荣枝

摘要:近几年高考命题不断出现线性规划命题，本文举例分析说明线性规划的命题形式、命题方向和解题策略。

关键词：线性规划；交汇；命题；知识；目标函数；可行域

作者简介：罗荣枝，任教于河南省示范性西平县高级中学。

线性规划是近几年高中数学新增加的内容，它一般用来求目标函数的最值和解决增产节支的实际应用问题，但从近几年的高考命题看，各省的命题都不断出现线性规划命题，并把线性规划知识与不等式、函数、方程等知识很好的结合起来，组成一些综合性问题，从而提高线性规划命题的难度，下面就线性规划的命题形式、命题方向和解题策略举例分析说明供大家参考.

一、与三角形知识交汇

例1．(2005年浙江省高考)设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是

分析：本题是线性规划与三角形知识的交汇题。

解：由三角形的三边关系，得线性约束条件为

即，画出可行域，故选A。

评注：线性规划问题中，约束条件的建立是前提，本题只要将条件所给的数学语言等价转化为不等式或不等式组，从而就可以画出平面区域——可行域。

二、与面积知识的交汇

例2．设满足y≥|x-a|的点(x,y)的集合为A，满足y≤-|x|+b的点(x,y)的集合为B，其中a,b是正数，且A∩B≠Φ,(1)a,b之间有什么关系；(2)求A∩B表示的图形的面积。

解：(1)作函数y=|x-a|及y=-|x|+b的图象，画出y≥|x-a|及y≤-|x|+b的区域，如图1又若A∩B≠Φ则b≥a.

(2)当b>a时，A∩B表示一矩形区域。各边所在直线方程分别为：x-y-a=0;x-y-b=0;x+y-a=0;x+y-b=0.

∴矩形两边的长分别是两平行线的距离，即；.

∴.

当b=a时，面积为0.

综上所述，所求面积为.

三、与方程根的分布知识交汇

例3.已知关于t的方程t2+tx+y=0有两个绝对值都不大于1的实根，则点P(x，y)在坐标平面内所对应的区域的图形大致是：

分析：这是一道根的分布问题，可令f(t)=t2+tx+y,则函数与t轴的两个交点均在区间[-1，1]内，以下由根的分布知识即可解决.

解：令f(t)=t2+tx+y，则由已知条件再结合图2，得即作出其可行域即可得图形A.

四、线性规划与圆锥曲线的交汇

例4.如果实数x,y满足等式,求x+y的最值.

分析:此题有多种解法,但将其看成目标函数z=x+y在可行域上的最大值与最小值不能不说是一种简捷有效的方法.

例5.(2007年高考浙江,理17)设m为实数,若,则m的取值范围是.(答案:[0,])

分析:本题将其看成是可行域在可行域内解决也不能不说是一种解题的良好方法.

五、线性规划与函数的交汇

例6.已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,则f(3)的取值范围是.(答案:[-1,20])

解析:-4≤f(1)≤-1可转化为:-4≤a-c≤-1;-1≤f(2)≤5可转化为:-1≤4a-c≤5.所求f(3)=9a-c的范围可看作在可行域内目标函数f(3)=9a-c最大值与最小值.

六、线性规划与数列知识的交汇

例7.(2008年四川理16)设等差数列的前项和为，若≥10，≤15，则的最大值为．

解法一：由题意，，即，，又。

至此可以看出这是加了包装的线性规划，很有意思．建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．我认为这是本题的命题意图．

但是因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．

解法二：设，

由解得，

∴，

由不等式的性质得：

，即

，∴的最大值是4。

从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．题出得基础，出得好，出得妙．

总结规律可以了解与线性规划的交汇点，把握解题规律，学会举一反三，打破题海战，提高学习效率，提高学习成绩。从而培养学生反思总结的良好习惯和敏锐的观察能力。

参考文献：

[1]韩先华.2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(含详解)[S].

[2]王瑞营.《优化探究》高二同步大课堂·数学上[M].郑州：黄河出版社，2008.

作者单位：河南省示范性西平县高级中学

邮政编码：463900

OnIntersectionsofLinearProgrammingKnowledge

LuoRongzhi

Abstract:LinearprogrammingproblemsarefrequentlyseeninNMTinrecentyears.Thispaperanalyzestheprepositionalform,prepositionaldirectionandproblem-solvingstrategiesoflinearprogrammingwithspecificexamples.

Keywords:linearprogramming;intersections;proposition;knowledge;objectivefunction;feasiblezone