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首页 > 《学园》 > 2010年4期 > 利用类比思想求函数值域

（整期优先）网络出版时间：2010-04-14

作者: 刘清国

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利用类比思想求函数值域

刘清国

刘清国河北省南宫中学

类比的实质就是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象转移给另一个对象。有些函数的值域用常规方法比较难求，如果能捕捉到该函数的结构，类比向量、三角、解析几何中的公式求解，会得到事半功倍的效果，下面举例说明。

一与三角类比

例1，已知

33＜x＜1，求函数f（x）=1+21+3xx2.x2的值域。

分析：此题用通法求值域比较困难，变形得f（x）=11.+xx22+3.1+2xx2。类比三角中的万能公式，设x＝tanθ（π6<θ<π4），则f（x）＝cos2θ＋3sin2θ＝2sin（2θ＋π6），易得f（x）的值域为（3，2）。

二与向量类比

例2，求y=3x+4.x2的值域。

分析：考虑到向量乘积的坐标形式，构造向量m=（3，1），n=（x，4.x2），所以，原式＝m.n，又m.n＝|m|.|n|·cosθ＝2·2cosθ，所以，原式＝4cosθ（θ为m与n的夹角），画图m是固定的，位于第一象限且与x轴成π6；n是模为2的向量，且始终在x轴上方。

∴θ的范围为...0,56π...，则cosθ∈....23,1...。

∴y∈［－23，4］。

三与解析几何类比

例3，求函数f（x）=1.（x.2）2+3的值域。

x+1分析：设y=1.（x.2）2，则f（x）=yx++13是目标函数，依题意，转化为一定点P（－1，－3）与一动点Q（x，y）连线斜率的取值范围问题，点Q在半圆C：（x－2）2＋y2＝1（y≥0）上运动，且半圆C与x轴的交点为A（3，0），B（1，0）。直线有两个边界位置，PA和PM（半圆的切线）可求得：kPA=43，kPM=9+17，于是函数f（x）的值域是（3,9+17）。848

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