浅谈排列组合问题的求解方法

浅谈排列组合问题的求解方法

丁书召

丁书召（平顶山工业职业技术学院河南平顶山467001）中图分类号：G642文献标识码：A

摘要：排列组合问题是学生学习中的一个难点，它联系实际生动有趣，题型多样，思路灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，因此解题中要注意方法与技巧，本文共介绍了九种解决排列组合问题的方法。

关键词：排列组合求解方法

排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样，思路灵活，解答排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．本文将通过对若干问题的分析，谈谈解答排列组合问题的一些常见方法。

解决排列组合问题常用的方法有：分类法与分步法；元素分析法与位置分析法；插空法和捆绑法；机会均等法；转化法；隔板法等。

一、分类法与分步法

问题1：9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有多少种？

【解析】有1人既懂英语又懂日语，按此人分类讨论：（1）若此人担任英语翻译，选拔方法有CC种；（2）若此人担任日语翻译，选拔方法有CC种；（3）若此人不担任翻译，选拔方法有CC种；根据分类计数原理：选拔方法共有CC＋CC＋CC＝90种。

问题2：植树节那一天，四位同学植树，现有三棵不同的树，则不同的植法结果有多少种？

【解析】完成这件事分三步，第一步，植第一棵树，共四种不同的方法；第二步，植第二棵树，共四种不同的方法；第三步，植第三棵树，共四种不同的方法。由分步计数原理得不同的植法结果有4×4×4=64种。

二、元素分析法与位置分析法

以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素。

问题3：用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

【解析】由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：(1）0排末尾时，有P个，(2）0不排在末尾时，则有PPP个，由分类计数原理，共有偶数P+PPP=30个。

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置。

问题4：7人站成一排照相，甲、乙两人只能在两端，有多少种不同的排法？

【解析】两端是特殊位置，先让甲乙在两端，有P种，另外5人在中间5个位置有P种，故共有PP=240种。

三、插空法和捆绑法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。

问题5：马路上有9只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？

【解析】关掉第一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑，因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即就是在6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有C=10种。

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素捆绑看作一个“元素”与其他元素排列，然后再对捆绑“元素”作排列。

问题6：7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？

【解析】把甲、乙、丙三人看作一个“元素”，与其余4人共5个元素作全排列，有P种排法，而甲乙、丙、之间又有P种排法，故共有PP=7200种排法。

四、机会均等法

问题7：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？

【解析】甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为P=604800种。

五、转化法

问题8：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？

【解析】10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B，其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有C=28种走法。

六、隔板法

问题9：现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？

【解析】10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有C=84种不同放法，所以名额分配的方法共有84种。

排列组合是学生学习的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧.