浅析中考数学培优之图形变换

浅析中考数学培优之图形变换

陈志惠

陈志惠福建漳浦达志中学363200

摘要：在整个初中数学体系中，图形的变换很好地联结了几何与代数，使很多几何知识很好地与代数知识整合在一起，使几何题实现了代数解法。同时，在图形变换的教学活动中，能很好地发展学生的整体思想、运动的观点、合理的空间想象能力，体会生活中数学美的乐趣。

关键词：题型赏析考点分析灵活运用

中考数学力求“稳定、求变、创新”的命题风格，加强对数学核心内容、解决问题能力、数学学习能力、情感与态度即“四基”的考查。在近几年的中考数学命题中，图形变换是每年必考的题型，这些试题情境一般存在开放性、探索性、操作性（平移、对称、旋转、翻折、相似及位似等），许多问题是以发现、猜测和探究为主线的新式题型。图形与变换对于培养同学们的空间观念、拓展几何的活动视野和研究途径，都具有其他内容无法替代的作用，是动态几何问题的一种新题型。因而，图形与变换在近年来的中考数学试题中占有较大的比重。

“运动与静止的相对性”是马克思哲学辩证唯物主义论对世界最真实的反映。运动的观点也是数学研究、数学发展必不可少的要素，是生活中数学因素的真实写照。数学课堂活动教学，我们应让学生感受数学知识内涵与外延的相对动与静，培养数形结合思想，使生活融入数学课堂。

一、中考数学中基本的图形变换

基本的图形变换包含全等变换与相似变换，其中全等变换有平移、轴对称与中心对称、旋转，相似变换主要有位似变换，从运动的角度研究、探索图形，它对提高我们的作图能力、探索与发现图形性质及图形中的规律性、对发展学生的空间创造思维、数形结合思想及提高学生的空间观念和逻辑推理能力有很大帮助，使学生发现数学的美及灵活运用数学美化我们的生活。在图形的变换中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。

解答中考数学图形变换题应抓住问题的本质，掌握解题策略。主要有以下三种解题策略：

1.动中求静。即在图形运动中寻求不变量或不变关系，探索问题中的不变性。

2.化动为静。就像拍照一样，抓住运动变换中静的一瞬间，使问题由一般向特殊转化，从而找到“动”与“静”的关系。

3.静中取动。借助函数数学模型来探索图形变换中的变量关系，通过研究函数特征，用联系发展的观点来研究变量之间的关系。抓住图形变换的特征，掌握各种变换的解题技巧，发挥我们无限的想象与创造力，在中考数学图型变换题型中以不变应万变。

二、中考数学中图形变换主要题型分析

近几年中考数学试题中的图形变换题型主要有基本的平移、旋转、对称型，翻折、裁剪型，平面图形设计型，网格作图型及平面直角坐标系中的图型变换型，图形变换的综合运用题型。这些题型以选择题、填空题、操作设计题、数学综合题等形式出现。

掌握和理解各种图形变换的基本性质，仔细观察变换前后的变量及不变量，体会图形的位置、形状、大小的变化，从“组合图形”中分析出“基本图形”，理解并运用各种图形变换的性质解题，是解决问题的关键。

1.基本的平移、旋转、对称题型。

我们要用整体的思想、运动的观点、合理的空间想象分析“组合图形”的形成过程。首先应确定图案中的“基本图形”；然后发现该图案各部分之间的内在联系；最后探索该图案的形成过程。我们不能静止地看待“基本图形”与“组合图形”之间的内在联系，头脑里要再现图案形成的过程，做到心中有数。

例1.如图，下面各组图形分别是由哪种图形变换得到的？

例2.将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺开，你可见到（）。

此类题型以填空、选择题的形式考查学生对全等变换（平移、对称、翻折、旋转）的基本概念的理解、对各种图形变换的直观感知，考查学生分析图形的能力及空间想象能力。解决此类题目，关键要抓住四种图形变换的特征，掌握定义的内涵，仔细观察图形。图形的平移变换应关注平移的方向和平移的距离两要素；图形的旋转变换应关注旋转中心、旋转方向、旋转角度；图形的对称或翻折变换应抓住变换前后图形的全等性。

2.翻折、裁剪题。

图形的折叠或翻折都是图形轴对称变换的问题。此类题具有可操作性，考查学生的动手、观察能力，需要学生理解掌握轴对称的性质。

例3.如图①，矩形纸片ABCD中，AD=14cm，AB=10cm。（1）将矩形纸片ABCD沿折线AE对折，使AB边与AD边重合，B点落在F点处，如图②所示；再剪去四边形CEFD，余下的部分如图③所示。若将余下的纸片展开，则所得的四边形ABEF的形状是_____，它的面积为_____cm2。（2）将图③中的纸片沿折线AG对折，使AF与AE边重合，F点落在H点处，如图④所示；再沿HG将△HGE剪去，余下的部分如图⑤所示。把图⑤的纸片完全展开，请你在图⑥的矩形ABCD中画出展开后图形的示意图，剪去的部分用阴影表示，折痕用虚线表示。（3）求图⑤中的纸片完全展开后的图形面积（结果保留整数）。

本题考查学生的作图、计算、想象及推理能力。本题中的不变量是轴对称中图形的全等性，可适当地利用折纸的办法帮助理解题意，解析出折叠中的三角形，并利用直角三角形勾股定理和图形全等的性质进行解题。

3.平面图案设计题。

图形设计题是近年来中考数学的热门考点，在生活中到处可看到各种美丽的图案，如汽车的标志、各种商标、广告等，考查学生的作图能力、动手能力、空间想象能力，能培养和提高学生的创造力，培养学生的审美能力，使学生感受数学的美及数学与生活的紧密联系。平面图案设计题型有三种形式：一是无背景的图形设计；二是网格中的图形设计；三是在坐标平面中进行图形设计。无论哪种形式，都离不开对四种图形变换的概念及性质的深入理解，我们应在数学课堂教学中加强学生的动手操作能力及作图能力。

例4.（2011漳州）20.（满分8分）下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们。

请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案。画图要求：

（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠。

（2）所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形。

这个题目是在网络中设计图案，利用网格可简化作图过程、美化作图，也是中考数学中常用的形式，既让学生感受数学的成就与历史，又让学生当一名数学图案的设计创造者，考查了图形的对称变换，又体现了一题多解的思想。学生可以有自由发挥想象的空间，合情合理地设计图案并赋于图案内涵及生活背景。

简单的图案设计主要步骤有：

①审题，然后构思。要突出主题，联系所学图形的基本特征，确定整个图形与基本图形，构思如何运用平移、旋转、对称等方式来实现。

②具体作图、并对图案作适当的修饰。

4.相似变换题。

图形的相似及位似变换要抓住图形之间的相似关系及位置关系，利用相似的性质及位似的位置特征解题。

例5.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形。若OA1=l，则△A6B6A7的边长为_____。

本题考查学生的分类归纳（图形的变化类）能力，利用图形的位似性质或等边三角形的性质、三角形内角和定理、平行的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等解题，属几何综合题型。

5.图形变换的综合运用题。

图形变换的综合运用题是中考数学压轴题常见的题型。中考数学压轴题主要有两种模式：图形变换和函数思想。中考数学压轴题一般会考查动态问题，而动态问题是指图形的运动变化问题，平移、旋转、翻折和运动是几何变换中的四种基本变换。这类题目注重培养学生用动态的观点去看待问题，考查学生的空间想象能力和动手操作能力；解题方法灵活多变，其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结合思想、方程思想、函数思想、分类讨论思想、数学建模思想等。解决这类问题的关键在于如何“静中取动”或者“动中求静”。

在中考数学总复习中，应善于启发学生用整体的思想、运动的观点、合理的空间想象分析图形，探索图案的形成过程；运用平移、旋转、对称及相似变换等性质与特征，分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的，并培养学生由特殊到一般的辩证思想。

参考文献

[1]《数学课程标准》.北京师范大学出版社出版。

[2]《中学数学教材教法》.华东师范大学出版社出版。

[3]《中考数学考试说明》。