论极限概念的狭义性及其极端猜想

论极限概念的狭义性及其极端猜想

咸立德

咸立德（山东省曲阜市273100）

中图分类号院O172文献标识码院A文章编号院1673-0992（2011）02-0010-01

摘要：把收敛性数列的和化为小数形式，并且分析可知，其小数是半有理性小数。所以，极限概念是具有狭义性的，其狭义性影响了人类对自然规律的更进一步的探索。

关键词：极限；狭义性；末位数；半有理数；极端猜想

引言：通过对收敛性数列部分之和化为小数的分析发现，利用极限概念把一般性的收敛性数列之和视为一个常数是有欠缺性的。本文对几个代表性的数列部分之和化为小数进行分析可知，其小数具有半有理性。同时对其半有理性的小数进行粗略的分析与猜想。一些未被证实或存争议的的一些自然规律中的物理性，实际上就是隐藏在极限概念以外的无理性之中。

一、极限概念的狭义性

（一）级数的部分之和化为小数的性质分析。现代数学中，一个收敛性数列之和，一般使用分数表达，如，日取9分之和表示为，日取5分之和表示为

很明显，直观上它们的之和是1，但是这种直观方法无疑是受了极限概念的影响，当把这些分数形式的部分之和化为小数形式时就会发现，极限概念具有主观性。

这里，尚且把作为参考。那么日取5分是不是能达到0.9循环或者1呢。

由图1可以看出，在日取5分部分之和逐次化为的小数的列表中，是有规律可寻的。

1.任意前n项之和的末位数都是5，即末位数在竖向上具有5循环性质，而除第一项之和，末第二位数都是7，即在竖向上是7循环。后第3位在随可分次数的增加中竖向上是83循环。第4位是9641循环，第5位是98204375循环。从第4次可分之和开始，9后边第一位是3682680578循环。

2.由《论数的不确定性对数论的影响极其解决办法》中的命题2可得类似命题：任何一个数乘以一个小于1大于110的数位数要多一位。在图1中的日取5分之和的逐次可分之和对比中就可以看出此类命题的性质。即在日取5分中，可分次数每增加一次，位数就增加一位，但是小数点后边的9的位数并不如此。也就是说，在无限可分之和的位数的增加中，9的位数增加的速度是小于整个小数的位数的增加速度的。即可分次数越多，9的位数和整体的位数的差距越多。所以，日取5分之和是不可能等于

0.9循环的，更不可能等于1。

在日取8分部分之和逐次化为的小数中（列表略），从第4次可分之和以后9后边第一位数是8638748751循环，末位数在竖向上是8624循环，末第二位从第4次可分之和开始是86374875001362512499循环。

由日取5分、8分的部分之和化为小数的性质和规律的分析可以看出，数列通项的值越小，级数之和越远离0.9循环，即其和越小。

（二）级数之和的半有理性。

1.新概念。半有理性：一部分显示为有理性，另一部分显示为无理性的小数。虽然在级数部分之和的比较中9后边的数能有规律可寻，但是在无穷概念中，9和9后面的数的位数是不确定的，具有无限性。所以本文把这种小数中的9后边的部分看做是具有无理性的，而前边的9由于具有循环性（现代数学中循环小数是有理数），所以，此类级数之和具有半有理性。

2.半有理性小数的表达方法。由于末位数具有循环性，可在封闭式循环小数表达方法的后边把循环性的末位数写上，对于两位数以上的循环，以循环的第一位为准，其它第二位以后的数一次用括号写在第一位后边。

如，日取5分之和的小数为0.99…3[682680578）（]n＞3）…5。日取8分之和的小数为0.99…8[638748751（]n＞3）…8（6、2、4）。即：=0.99…3[682680578（]n＞3）…5。0.99…表示有理数部分，3[682680578]（n＞3）…5表示无理数部分。

实际上这就是《论数的不确定性对数论的影响极其解决办法》中所论述的循环小数要用封闭式循环小数表的意义之所在。也就是说，无穷级数之和是半有理数。而且由以上的分析中的规律可知，在无限概念中半有理数的无理部分的每位数是确定的。就像圆周率的值，只要人类有能力，任意多的位数都能得到确定。

3.类似于+…的级数之和则是具有有理性的循环小数，结合《论数的不确定性对数论的影响及其解决办法》，则有：+……=0.99…9＜1，即0.99…9是最接近1而小于1的最大数，末位数上的9则是910n中n趋向于无穷大时的最小值，可表示为0.0…09，根据最小数的性质，即有：0.0…01×9=0.0…09。同理，

（三）半有理数的数位坐标图。级数部分之和是可以建立一个数位坐标系，来观察其部分之和的性质，如图2。由图可以看出，0.9循环是沿直线a-b-c-d-e-f-g-i-j-k变化，而像日取5分之和的无理部分都是以曲折方向变化的。

也就是说，日取5分之和不可能成为水平方向变化的0.9循环。

（四）极限概念的狭义性证明。由以上的分析可得如下证明：任取日取5分之和的n项之和s，若有(1－s)×12=m存在。则有：m的末位数必定是5，且位数比s要多一位。则s+m的值的末位数也必定是5。

所以：日取5分之和不是0.9循环，更不是1，且小于0.9循环。

由以上分析、证明可知，极限概念是具有狭义性的。

二、极限概念的极端猜想

（一）极限概念的局限性。人类之所以引用极限概念，不过是人类在力所能及的精确范围内所虚设的一个极限而已。如，若人类对时间的观察只能精确到秒，那么极限中的极点也是妙，在观察运动的粗略的轨迹中只能是秒的连续，所有比秒更精确的时刻，一律和轨迹中的妙这个点（包括极点）相应的重合。对于比秒更精确的时刻的运动性质就无法探求。

以上是说，极限概念是受人类的能力的限制的，有局限性的，所谓的无穷小，是人类在力所能及的逻辑中虚设的小。这种局限性意味着，极限概念并不能十分准确地描述自然规律中的物理性。

简单的说，0.9循环和1之间不存在任何数，只是狭义性的极限定义的结果。不代表事实上就不存在任何数。

（二）对极限概念的极端猜想。由以上分析可知，极限概念具有狭义性。若在极限概念的基础上加以极端的推理，即若以日取0.1分甚至0.0…1分的方法，或者以日取9.9分甚至9.9循环的方法去取那一尺之棰，再用极限概念解决其数列之和，肯定是不合适宜的，或者是很麻烦的。以上是说，极限概念只能解决一般问题

（三）对极限概念极端猜想的意义。人类要想探求更精确的自然规律，是必要在极限概念的基础上，继续对极限概念中的极点进行更深一层的探究。也就是说，不能笼统的把类似于日取5分之和都去等于1，而是应该探究不等于1的无理性小数部分的性质。简单的说，更精确的自然规律就是隐在半有理性小数的无理性小数部分中。

比如，人类之所以把光波视为标准的正玄波（由《自由运动论》的理论可知，自然中是不可能存在标准的正玄波的。光粒子的运动轨迹，其性质也无异于地球随太阳的运动轨迹，用数学语言表达就是（变形的）圆锥曲线），是因为光的运动速度极快，人类无法观察到光最精确的运动轨迹罢了。用数学语言表达就是，人类无法描述0.9循环和1之间的数，更不知道这些数有什么性质。或者说，无法描述日取9.9循环的数列之和，即便是勉强描述，也只能是比日取9分之和更粗略而已。

又如：由于自由落体的速度很大而人类对于位移和时间的测量的精确度都是有限制的，所以对于不同质量的物体在同一高度是不是同时落地的问题，应当是存在争议的。即便是人类在观察中的确是同时的，根据本为对极限概念的极端猜想，那也是相对的粗略结论而已。

三、讨论

如果科学理论必须是可证伪，这就意味着，所谓的理论是在某种条件下才能成立。极限，就是在我们必须承认，1，无限个数相加得存在个确定的值，2，必须得“称”无限接近的数就是到了那个数（极限视为一个确定的值），从而得出了级数之和是有理数的理论。

所以，所谓的极限定义，是建立在“如果无穷个数相加存在其和”的假设的基础上，而且主观的认为极限是客观存在的（有理性的），并且视为数列收敛于的某个常数。实际上，这种假设和主观定义，并没有解决无限问题，相反，实质上是把无限给有限化了。或者说，极限概念只是解决了半无限的问题，无异于四舍五入的简单的数学概念。比如，根据最小数的性质，0.9循环和1之间还一个最小数0.（N－1）的存在，只不过在极限概念思维中给舍去了而已。同理，类似于日取5分之和和1之间还有一个相当客观的无理数存在，也只不过在极限概念的思维中给舍去了而已。

所以，数学引入极限概念，只是为了让一些问题能够在人类力所能及的范围内得到一个确切的解。即极限概念的用途就在于，在粗略中求确切，用疏中的规律求密的存在。

相反，封闭式循环小数的方法，表面上是有限性的，而实际上，末位数的表达，并没有表明末位数是确定的第几位数（从首位开始数）。也正是在半有理性小数中，由于末位数不同于前面的循环性的数，才显示了半有理数的无限性。也就是说，真正的寻找无限的东西，必须在无限个数相加不可能存在一个确定的值的客观前提下，研究半有理性小数的性质，才有可能找到无穷之中的更精确的自然规律。

对于循环小数中的末位数来讲，只是对无限问题的思维方法不同而已。在以往的循环小数的表达中，如，0.9…中的9虽然表达了最高位，但是由于无限的性质，无法确定高的程度，同样在0.9…9中末位数上的9虽然表达了末位数，但也无法确定其最低位数的程度。用简单的比喻，如，在一堆被认定为无限的物体中，第一次任意取出的其中一个，那么这一个，可以认为是第一个，同样可以认为是最后一个，也就是说，末位数上的9和小数点后边的第一个9，具有同等的存在意义。

再者，现代的循环小数的表达方式，只是符合了书写习惯，而忽视了读法和四则运算的习惯性和重要性，致使循环小数无法进行正常的读法和运算（先从个位读起、和从个位算起）。从而导致了利用极限概念解决无限问题的局限性。而封闭式循环小数的表达方法解决了现代数学上循环小数不能进行简单的四则运算问题，同时在证明级数之和具有半有理性中起到了重要作用。

四、结论

极限概念具有狭义性，并未很好的解决无限问题。

五、结束语

本为重在对极限概念的极端猜想，只有对极限概念进行极端的猜想，探究半有理性小数的性质，才能使数学更进一步；才能使数学在科学中的应用更广泛；才能使人类对自然规律有更进一步的认识。