例谈学好一次函数的几个关键

例谈学好一次函数的几个关键

仲启悦

江苏连云港市赣榆县实验中学仲启悦

一次函数是我们初中阶段首次学习函数的知识，它不仅是学习其它类型函数的基础，也将我们已学过的方程、方程组与直线的有关知识结合起来.学好一次函数，不仅能为以后的学习打好基础，也能使我们具备“数学化”地解决实际问题的意识.然而“函数”是一个比较抽象的概念，要想学好一次函数，不至于因为它“抽象”而感到乏味，我认为应该注意以下几个方面的问题.

一、借助生活经验，化难为易，具体形象地感知函数关系

数学来源于生活，我们学习函数的概念，不妨借助生活的经验来理解函数关系，我们生活在运动变化着的世界里，可以说变量无处不在.在我们一次函数的前一章，曾经用数量的变化标记过位置的变化.而函数关系就是揭示一个变量随另一个变得的变化而变化的“法则”.清代数学家李善兰在首次翻译“函数”一词时说过：凡式中含天，则为天之函数，也就是说，凡是公式中含有变量x，则该式子就叫x的函数，我们探索x的函数，也就是在探索含有x的“公式”，例如：

自来水厂为了鼓励市民节约用水，规定每户居民每月用水不超过7m3时，第立方米按2元收费超过7m3时，超过部分按每立方米3元收费，若某户居民某月用水xm3，需缴水费y元，写出y与x之间的函数关系式.这是一个生活中常见的问题，我们要想写出y关于x的函数关系，只需问问自己，如果我用了xm3的水，需交给给自来水厂多少水费就可以了.我们不难知道，y与x的关系为：

y=

又例如：如图，已知等边三角形ABC中，AB=2，P是AB边上的任意一个点（P可以与A点重合；但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AB垂足为F，过F作FQ⊥QB垂足为Q，若BP=x，AQ=y，写出y与x之间的函数关系式.

这是一道揭示几何图形中的一条线段AQ的长度随另一条线段BP的变化而变化的函数问题，我们可以假设BP是一条已知线段，其长度是x，即已知BP=x，AB=BC=AC=2，求AQ的长.

解：因为△ABC为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°

AB=BC=AC=2.

二、善于联系，推陈出新.轻轻松松地学好函数

数学知识具有连贯性，就象我们的一次函数是学习其它函数的基础一样，在此之前我们曾经学习过的正比例关系、直线的有关知识同样是我们认识一次函数的基础.例如：

已知y+m与x+n成正比例.试说明y是x的一次函数.

解：因为y+m与x+n成正比例，所以可假设y+m=k(x+n)整理得：y=kx+kn-m

所以y是x的一次函数

一次函数y=kx+b中y-b=kx即y-b与x成正比例，由此可见，一次函数是由两个成正比例的变量建立起来的，我们知道y=kx是特殊的一次函数.不仅如此，函数图象是直线，不同的函数图象是不同的直线，两条直线有平行、垂直等位置关系，我们如果将直线的知识与函数关系式中k与b联系起来，那么我们的数学能力一定会有大幅度的提高.

三、善于想象数形结合学好函数

平面直角坐标系的建立，是数学知识中“数”与“形”的又一次结合.用函数的每一对对应值作为点的坐标描点，在坐标平面内便可得到这个函数的图象，我们学习一次函数不能将它和它的图象分开，解题时要根据图象上点的坐标想到函数的对应值，例如：

如图,l1、l2是甲、乙两个人行走时离开某地的距离随时间的变化图象，其中x表示他们行走的时间，s表示离开某地的路程，已知l1与l2的交点A的坐标是（2，50）根据图中的信息，求出当两人出发4小时的时候两个人相距多远？

对于这个问题，我们可以用下面方法解决.

解由图象可知，l1是正比例函数的图象的一部分，l2是一次函数的图象一部分所以可以假设l1的解析式为：y1=ax，l2的解析式为：y2=kx+b根据题意得：50=2aa=25所以y1=25x

解之得

所以y2=22.5x+5

当x=4时，y1=100y2=95y2-y1=5所以出发4小时，两个人相距5千米.

然而，我们如果能运用图象的本质，不难发现两个人出发4小时，甲、乙二人离开某地的路程分别是图象上点E与点D的纵坐标，甚至可以想象得出，此时两个人的距离就是线段DE的长，根据图中△AOＣ≌△ＡED得，DE=OC=5，即出发4小时的时候两个人相距5千米.

俗话说，想象是创造的起点，在学习中能展开想象的翅膀，不仅能提高我们应用知识解决问题的能力，也能使我们将来成为创造型人才.聪明的同学你能想象出当两个人出发3小时的时候，他们相距几千米吗？

四、学以致用，实实在在地学一次函数

“学习有价值的数学”.这是新课标提出的学习理念，学是为了用我们对某事或物感兴趣，往往是觉得它对我们有用.一次函数在生活中有着十分广泛的应用，如果我们能做到学以致用，就不会感到它乏味，请看下面的例子.

某学校需要刻录一批光盘，如果到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘），如果学校自己刻录，除租用刻录机需120元外，每张还需成本费4元（包括空白光盘）.问刻录这批光盘，到电脑公司刻录和学校自己刻录哪种方式总费用更省.

分析：刻录光盘的费用是刻录光盘数量的函数，我们不难写出两种方式下刻录相同数量的光盘所需费用关于光盘数量的函数关系式，

解：设学校刻录了x张光盘，若自己刻录，费用为W1元，若到电脑公司刻录，总费用W2元，根据题意：

W1=4x+120;W2=8x

当W1=W2时，x=30即如果刻录了30张光盘，那么两种方式的总费用相等.

当W1>W2时,120+4x>8xx<30即，当刻录光的数量小于30张时，到电脑公司刻录总费省一些，同样地，当刻录光盘多于30张时，学校自己刻录总费用较省.

生活中需要我们选择最佳方案的例子还很多很多，生活问题数学化.不仅能使我们发现数学的实用价值，也解使我们养成良好的学习习惯.

一次函数是二元一次方程，一元一次不等式的知识的应用，我们在学习中还应该注意与这两部分的知识紧密联系起来.在学习中积极探索，勤动手操作，多动脑思考，你会发现一次函数是我们解决问题的好助手，学好一次函数并不太困难.