浅析高考三角函数

浅析高考三角函数

宁静然

宁静然河北省隆尧县第一中学055350

近几年高考对三角函数部分的考查保持了三个稳定（内容、题量、分值），难度适中，其考查主要有两个方面:一是三角函数的变换，二是三角函数图像和性质。解题过程一般是先进行恒等变换，再利用三角函数图像和性质解题。

对能力的考查主要是演绎推理能力、计算能力、综合应用知识解决问题的能力；体现的数学思想有化归思想、分类讨论思想、函数思想等。

考查的知识点有三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、图像对称性，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，三角函数的值域（包括最值）。

解题原则：注重通性通法，淡化特殊技巧。

一、基本性质考查

三角函数的基本性质主要有最小正周期、奇偶性、单调性、图像对称性。

（1）对于周期可以从以下两个方面考虑：（a）型如f（x）=Asin（ωx+φ）（ω>0），T=。（b）依据f（x+T）=f（x）检验。

（2）对于对称性，已知x=b对称轴方程，通常把x=b代入，得sin（ωb+φ）＝±1或由f（b+x）=f（b-x）解题。若求对称轴方程，通常令ωx+φ=kπ+（k∈z），解出x即为对称轴方程。若图像关于点（b，0）对称，通常利用f（b+x）=-f（b-x）或f（b）=0解题。

（3）对于奇偶性与单调性只需用定义解题即可。

二、常用公式考查

三角函数常用公式有诱导公式及Sα±β、Cα±β、S2α、Tα±β、T2α，主要应用这些公式进行三角恒等变换。

三、三角函数综合应用

三角函数基本应用主要是在解三角形中的应用及实际应用，而实际应用题最终需转化为解三角形。三角形中的三角函数问题一直处于中档题，只要将三角形中的特殊条件梳理清楚，选用正弦定理或余弦定理，问题基本就能顺利解决。

三角函数与数列、不等式等知识点的综合题往往有一定的难度。

范例分析：

例1、f（x）=cos（ωx-）的最小正周期为，其中ω>0，则ω=______。

例2、已知函数f（x）=sin（2x+）（-π<<0）图像的一条对称轴是直线x=，求。

解:∵x=是函数y=f（x）的图像的对称轴。

∴sin（2×+）=±1，∴+=kπ+，k∈z。

∵-π<<0，∴=-。

简评：本题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

例3、已知f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+），求函数f（x）的最小正周期和图像的对称轴方程。

解:由f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+），得：f（x）=cos（2x-）＋2sin（x-）cos（x-）=cos（2x-）+sin（2x-），即：

f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-）

∴T=π。令2x-=kπ+，解得对称轴方程为x=+（k∈z）。

简评；本题考查了诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、最小正周期及对称轴等知识点。解题过程是先进行三角恒等变形，再求三角函数图像的周期与对称轴，属于常规题。

例4、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，a=23，tan+tan=4，sinBsinC=cos2。求A、B及b、c。

解：由A+B+C=π，得=-，tan+tan=4，即：

又sinBsinC=cos2，

得sinB=1+cosA，sinB+cosB=1；

sin（B+）=1，得B=，A=。

再由正弦定理==易得b=c=2。

简析:本题先在三角形的条件下进行三角恒等变形，用到切化弦、二倍角的正弦及两角和的正弦公式，再由正弦定理解得b、c，是一道中档题。

例5、已知△ABC的面积为1，tanB=，tanC=-2，求△ABC的三边及△ABC外接圆的直径。

解:由tanC=-2知C为钝角，∴cos2C==；

∴cosC=-，sinC=；同理由tanB=，

得cosB=，sinB=，sinA=sin（B+c）=；

简析：本题是解斜三角形，在三角恒等变形中用到了同角三角基本关系及诱导公式，解三角形中用到正弦定理，属中档题。

通过上述浅析，三角题都能在教材中寻到基本原型题。因此，在三角复习中，要以课本为主，梳理整合知识点，强化重点内容，提炼数学思想方法，突出通性通法，讲究知识的综合应用，提高分析问题、解决问题的能力，必能提高复习效率。